Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Рис.3.16. Последовательные деления отрезка пополам

Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень $ x_0=c_i$, либо будет построена система вложенных отрезков

$\displaystyle [a;b]\sps[a_1;b_1]\sps[a_2;b_2]\sps\ldots\sps[a_i;b_i]\sps\ldots,$

в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность $ a_0=a,a_1,a_2,\dots,a_i,\dots$- неубывающая и ограниченная сверху (например, числом $ b$); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел $ \lim\limits_{i\to\infty}a_i=a'$. Последовательность $ {b_0=b,b_1,b_2,\dots,b_i,\dots}$- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом$ a$); значит, существует предел $ \lim\limits_{i\to\infty}b_i=b'$. Поскольку длины отрезков $ b_i-a_i$образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем $ \frac{1}{2}$), то они стремятся к 0, и $ \lim\limits_{i\to\infty}a_i=\lim\limits_{i\to\infty}b_i$, то есть $ a'=b'$. Положим, теперь $ x_0=a'=b'$. Тогда

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

$\displaystyle \lim_{i\to\infty}f(a_i)=f(a')=f(x_0)$и $\displaystyle \lim_{i\to\infty}f(b_i)=f(b')=f(x_0),$

поскольку функция $ f$непрерывна. Однако, по построению последовательностей $ \{a_i\}$и $ \{b_i\}$, $ f(a_i)<0$и $ f(b_i)>0$, так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), $ \lim\limits_{i\to\infty}f(a_i)\leqslant 0$и $ \lim\limits_{i\to\infty}f(b_i)\geqslant 0$, то есть $ f(x_0)\leqslant 0$и $ f(x_0)\geqslant 0$. Значит, $ f(x_0)=0$, и $ x_0$- корень уравнения $ f(x)=0$.

Пример 3.14 Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$. Поскольку $ f(0)=1$и $ f(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}$- числа разных знаков, то функция $ f(x)$обращается в 0 в некоторой точке $ x_0$интервала $ (0;\frac{\pi}{2})$. Это означает, что уравнение $ \cos x=x$имеет корень $ x_0\in(0;\frac{\pi}{2})$.

Рис.3.17. Графическое представление корня уравнения $ \cos x=x$

Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня $ x_0$, хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.

Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень $ x_0$- единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).

Рис.3.18. Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка

Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень- единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0.

Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня

Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.

Теорема 3.7 (о промежуточном значении непрерывной функции) Пусть функция $ f(x)$непрерывна на отрезке $ [a;b]$и $ f(a)\ne f(b)$(будем для определённости считать, что $ f(a)<f(b)$). Пусть $ C$- некоторое число, лежащее между $ f(a)$и $ f(b)$. Тогда существует такая точка $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=C$.

Страница:  1  2  3  4  5  6 


Другие рефераты на тему «Математика»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2020 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы