Непрерывность функции на интервале и на отрезке
Рис.3.16. Последовательные деления отрезка пополам
Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень , либо будет построена система вложенных отрезков
в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность - неубывающая и ограниченная сверху (например, числом
); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел
. Последовательность
- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом
); значит, существует предел
. Поскольку длины отрезков
образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем
), то они стремятся к 0, и
, то есть
. Положим, теперь
. Тогда
и
поскольку функция непрерывна. Однако, по построению последовательностей
и
,
и
, так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7),
и
, то есть
и
. Значит,
, и
- корень уравнения
.
Пример 3.14 Рассмотрим функцию на отрезке
. Поскольку
и
- числа разных знаков, то функция
обращается в 0 в некоторой точке
интервала
. Это означает, что уравнение
имеет корень
.
Рис.3.17. Графическое представление корня уравнения
Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня , хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.
Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень - единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).
Рис.3.18. Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка
Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень- единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0.
Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня
Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.
Теорема 3.7 (о промежуточном значении непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке
и
(будем для определённости считать, что
). Пусть
- некоторое число, лежащее между
и
. Тогда существует такая точка
, что
.
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах