Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Рефераты / Математика / Непрерывность функции на интервале и на отрезке

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1+x,&\mbox{ при }x\in[-1;0);\\ 0,&\mbox{ при }x\in[0;1], \end{array}\right.$

на отрезке . Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что dth=76 height=32 src="images/referats/660/image198.gif" alt="$ \vert f(x)\vert\leqslant 1$">) и $\sup\limits_{x\in[-1;1]}\{f(x)\}=1$ , однако значение1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что , а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке , так что при $x\to0-$ предел не равен значению функции в точке0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию на интервале . Очевидно, что функция непрерывна и что $\inf\limits_{x\in(0;1)}=0$ и $\sup\limits_{x\in(0;1)}=1$ , однако ни значения0, ни значения1 функция не принимает ни в какой точке интервала . Рассмотрим также функцию $f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ на полуоси $[0;+\infty)$ . Эта функция непрерывна на $[0;+\infty)$ , возрастает, принимает своё минимальное значение0 в точке , но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом $\dfrac{\pi}{2}$ и $\sup\limits_{x\in[0;+\infty)}f(x)=\dfrac{\pi}{2}).$