Непрерывность функции на интервале и на отрезке

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1+x,&\mbox{ при }x\in[-1;0);\\
0,&\mbox{ при }x\in[0;1],
\end{array}\right.
$

на отрезке $ [-1;1]$. Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что dth=76 height=32 src="images/referats/660/image198.gif" alt="$ \vert f(x)\vert\leqslant 1$">) и $ \sup\limits_{x\in[-1;1]}\{f(x)\}=1$, однако значение1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что $ f(0)=0$, а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке $ x=0$, так что при $ x\to0-$предел $ f(x)$не равен значению функции в точке0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию $ f(x)=x$на интервале $ (0;1)$. Очевидно, что функция непрерывна и что $ \inf\limits_{x\in(0;1)}=0$и $ \sup\limits_{x\in(0;1)}=1$, однако ни значения0, ни значения1 функция не принимает ни в какой точке интервала $ (0;1)$. Рассмотрим также функцию $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$на полуоси $ [0;+\infty)$. Эта функция непрерывна на $ [0;+\infty)$, возрастает, принимает своё минимальное значение0 в точке $ x=0$, но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом $ \dfrac{\pi}{2}$и $ \sup\limits_{x\in[0;+\infty)}f(x)=\dfrac{\pi}{2}).$

Страница:  1  2  3  4  5  6 


Другие рефераты на тему «Математика»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2021 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы