Нестандартный анализ

тот факт, что гипердействительные аналоги сложения, умножения и т. п. превращают *R в поле, можно выве­сти из требования одновременной разрешимости систем уравнений.

8. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Рассмотрим вопрос о существовании гипердействительных чисел. Точнее этот вопрос следует сфор­мулировать так: можно ли построить расширение множества действительных чисел, для

которого выполнялась бы Основная гипотеза. Основная гипотеза требует, чтобы:

(1) имелось некоторое множество R, для которого RÌ*R;

(2) для каждой функции f: Rn®R имелась некото­рая функция *f: *Rn®*R являющаяся продол­жением исходной;

(3) любая система уравнений и неравенств, гипердействительный аналог который имеет (гипердействительные) решения, имела действительные решения;

(4) *R содержало бесконечно малые элементы, отлич­ные от нуля.

Покажем, каким образом этим требованиям можно удовлетворить. Рассмотрим один из возможных вариантов перехода от Q (множества рациональных чисел) к R (множеству действительных чисел). Рассматриваются всевозможные фундаментальные последовательности рациональных чисел, т. е. такие последовательности, что для любого e > 0 существует отре­зок длины e, содержащий все члены последовательности, кроме конечного числа. Две такие последовательности xn и yn называют эквивалентными, если xn–yn стремится к 0 при п®¥. Это отношение эквивалентности разбивает фундаментальные последовательности на классы, которые и называются действительными числами.

Мы достигнем цели, если от последовательностей перейдем к классам последо­вательностей, считая, что две последовательности x0,x1,x2,…. и y0,y1,y2,… задают одно и то же гипердействительное чис­ло, если xn=yn “для большинства натуральных чисел n”.

Для наглядности будем представлять себе, что прово­дится голосование по вопросу “считать ли последователь­ности xn и yn совпадающими”. В нем голосующими явля­ются натуральные числа, причем число п голосует “за”, если

xn =yn , и “против”, если xn¹yn . Будем считать по­следовательности xnи yn совпадающими, если большин­ство натуральных чисел голосуют за это. Нужно объяс­нить лишь, какова система подсчета голосов, т. е. какие множества натуральных чисел мы считаем “большими” (содержащими “большинство” натуральных чисел), а ка­кие “малыми” (содержащими “меньшинство” натураль­ных чисел). Перечислим те свойства, которым должна удовлетворять система подсчета голосов, т. с. деление множеств натуральных чисел на большие и малые.

1. Любое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни одно множество не является большим и малым одновременно. (Голосование должно всегда давать ответ.)

2. Множество всех натуральных чисел большое, пустое множество малое. (Предложение, за которое голосуют все, принимается.)

3. Дополнение (до N) любого малого множества явля­ется большим, дополнение любого большого множества – малым. (Из двух противоположных законопроектов полу­чает большинство голосов ровно одни.)

4. Любое подмножество малого множества является малым, любое надмножество большого множества – боль­шим. (Утратив часть голосов, отвергнутый законопроект не может стать принятым.)

5. Объединение двух малых множеств является малым, пересечение двух больших множеств является большим. (Если каждая из двух групп голосующих не образует большинства, то они и вместе не образуют большинства (“невозможность коалиции”); если каждая из групп со­ставляет большинство, то голосующие, входящие одновре­менно в обе группы, уже составляют большинство.)

Эти требования весьма сильны. Чтобы понять это, рас­смотрим случай конечного множества голосующих (получающийся заменой N на некоторое конечное множест­во М). Можно ли тогда удовлетворить этим требованиям? Один способ почти очевиден. Выберем одного из “голосую­щих” тÎ М и назовем большими все множества, содер­жащие m, а малыми – все множества, не содержащие т (“диктатура” m). При таком определении легко проверить все свойства 1–5. Оказывается, что этим исчерпываются все возможности удовлетворить требованиям 1–5 для случая конечного множества M. В самом деле, , пусть име­ется разбиение всех множеств на большие и малые, удов­летворяющее требованиям 1–5. Рассмотрим тогда все большие множества и выберем из них множество M0, со­держащее наименьшее возможное число элементов (среди больших множеств). Множество M0 непусто. Если оно содержит ровно один элемент m, то в силу свойства 4 все множества, содержащие т, будут большими, а в силу свойства 3 все множества, не содержащие m, будут малы­ми. Осталось показать, что M0 не может содержать более одного элемента. В самом деле, в этом случае его можно было бы разбить на две непустые непересекающиеся части M1 и M2. Эти части должны быть малыми (так как содержат меньше элементов, чем M0), а их объединение M0 является большим, что противоречит требо­ванию 5.

Оказывается, однако, что при счетном числе голосующих возможны системы голосования, удовлетворяющие требованиям 1–5 и не сводящиеся к упомянутому три­виальному случаю. Другими словами, можно так разбить все подмножества натурального ряда на большие и малые, чтобы выполнялись свойства 1–5 и любое одноэлементное множество было малым. Тогда (в силу свойства 5) и любое конечное множество будет малым, а (в силу свой­ства 3) всякое множество с конечным дополнением (до N) – большим. Таким образом, к требованиям 1–5 можно без противоречия добавить и такое:

6. Всякое конечное множество является малым, всякое множество с конечным

дополнением — большим. (При го­лосовании мнение конечного числа голосующих несущест­венно.)

Разбиение всех подмножеств натурального ряда на большие и малые, удовлетворяющее требованиям 1–6, называется нетривиальным ультрафильтром на множестве натуральных чисел.

Покажем теперь, что такое разбиение позволяет по­строить систему гипердействительных чисел, удовлетво­ряющую требованиям Основной гипотезы. Итак, пусть фиксировано разбиение, удовлетворяющее требованиям 1–6. Назовем две последовательности xn и yn эквивалентными, если множество тех n, при кото­рых xn =yn является большим. В силу требования 2 вся­кая последовательность эквивалентна самой себе.

Мы видим, что введенное отношение рефлексивно, сим­метрично (это очевидно из определения) и транзитивно и, следовательно, разбивает все последовательности действи­тельных чисел на классы эквивалентности, т. е. такие классы, что любые две последовательности одного класса эквивалентны, а любые две последовательности из разных классов – нет. Эти классы мы и назовем гипердействительными числами. Что еще нам нужно? Нужно, чтобы множество действительных чисел было подмножеством множества гипердействительных. Нужно уметь для каж­дой функции с действительными аргументами и значения­ми строить ее гипердействительный аналог. Нужно про­верить, что любая система уравнений и неравенств, гипердействительный аналог которой имеет гипердействительные решения, имеет действительные решения. И, на­конец, нужно убедиться, что среди гипердействительных чисел (рассматриваемых как упорядоченное поле) существуют бесконечно малые, отличные от нуля.

 Скачать реферат