Нестандартный анализ

всякая система уравнений и неравенств, гипердействительный аналог которой имеет (гипердействительные) решения, должна иметь действительные решения.

Введем понятие терма. Выберем счетный набор символов, элементы которого будем называть переменными. Будем назы­вать термом любую переменную, любое действительное число, а также любое выражение вида f(t1, ., tn), где f – функция п действительных

аргументов, а t1, ., tn – построенные ранее термы.

Системой (точнее, системой уравнений и нера­венств) назовем конечный набор записей вида t=s или t¹s, где t, s – термы. Определим теперь понятие решения системы. Еслп в терм подставить действительные числа вместо переменных, то он приобретет некоторое действительное значение. Решение системы – это такой набор значений переменных, при ко­тором левая и правая части любою равенства I t=s, вхо­дящего в систему, приобретают одно и то же значение, а левая и правая части любого неравенства t¹s, входяще­го в систему,— разные.

По нашему предположению всякая функция с дейст­вительными аргументами н значениями имеет гппердействительный аналог («естественное продолжение»). По­нятие гипердействительного аналога легко распространя­ется на термы — чтобы получить аналог терма t, надо просто заменить все входящие в него функции на их гипердействительпые аналоги. Проделав эту операцию со всеми термами, входящими в какую-то систему S, мы по­лучим систему *S, которую естественно также назвать гипердействительным аналогом системы S. Поскольку в нее входят функции с гипердействительными аргумента­ми и значениями, вместо переменных можно подставлять произвольные гипердействительные числа. Гппердейст-вительным решением системы *S назовем такой набор гипердействительпых значений переменных, при которых выполнены все входящие в нее уравнения и неравенства. Теперь можно сформулировать наше требование к систе­ме гипердействительных чисел и к гипердействительным аналогам следующим образом.

Пусть S — произвольная система уравнений и неравенств, *S – ее гипердействительный аналог. Если *S имеет (гипердействительные} решения, то S долж­на иметь действительные решения.

Возможность построения неархимедо­ва упорядоченного расширения *R поля R и таких гипердействительных аналогов *f для всех действительных функций f, которые бы удовлетворяли сформулированному требованию, остается пока всего, лишь гипотезой. (Мы будем называть эту гипотезу Основной гипотезой.)

7. СЛЕДСТВИЯ ОСНОВНОЙ ГИПОТЕЗЫ

Приведем несколько примеров, показывающих, какие следствия можно вывести из сфор­мулированной Основной гипо­тезы. Оказывается, что несмотря на то, что сформулиро­ванное нами требование одновременной разрешимости систем уравнений и неравенств кажется весьма частным, оно имеет самые разнообразные следствия и достаточно для обоснований значительной части рассуждений с ги-пердействительными числами.

Пример 1. Пусть f – функция одного действитель­ного аргумента, принимающая только значения 0 и 1. Докажем, что функция *f принимает только значения 0 и 1. Для этого рассмотрим систему

f(x)¹0, f(x)¹1,

которая по предположению не имеет действительных решений. Следовательно, не имеет (гипердействительных) решений и ее аналог — система

*f(x)¹0, *f(x)¹1,

Пример 2. Пусть f и g – функции одного действительного аргумента, причем множества их нулей совпа­дают. (Множество нулей функции – множество тех зна-чений аргумента, при которых значение функции равно 0) В этом случае и множества гипердействительных чисел, являющиеся множествами нулей функций *f и *g, совпадают. Докажем это. В самом деле, каждая из си­стем

(1) f(x)=0, g(x)¹0,

(2) g(x)=0, f(x)¹0,

не имеет действительных решений. Следовательно, не имеют гииердействительных решений и их аналоги. По­тому любой гипердействительный нуль функции *f обя-зан (чтобы не быть решением аналога системы (1)) быть нулем и для *g и наоборот.

Этот пример позволяет определить гипердействительные аналоги не только для функций, но и для множеств.

Пусть А – произвольное множество действительных чисел. Рассмотрим произвольную функцию f, для которой А – множество нулей. (Такая есть: достаточно положить, например, f(x)=0 при хÎА и f(x)=1 при xÏA). Рассмотрим теперь гипердействительный аналог *f функции f и множество *А его (гипердействительных) нулей. Как мы видим, множество *А не зависит от выбора функ­ции f. Его мы и назовем гипердействительным аналогом множества А.

Пример 3. Мы можем теперь разрешить включать системы наряду с равенствами t=s и неравенст­вами t¹s и записи видаsÎA, где s представляет собой терм, а А – множество действительных чисел. При этом решениями будут такиенаборы (действительных или гипердействительных) значений переменных, при ко­торых выполнены все равенства и неравенства, а значе­ние s принадлежит множеству А. Гипердействительным аналогом sÎA будет *sÎ*A, где *s – гипердей-ствительный аналог терма s, а *A — аналог множества А (в указанном смысле). Таким образом, у всякой си­стемы равенств, неравенств и включений (т. е. записей вида sÎA) появляется гипердействительный аналог. Для таких систем остается в силе свойство одновременной разрешимости: если гипердействительный аналог систе­мы имеет (гипердействительные) решения, то исходная система имеет (действительные) решения. Чтобы уви­деть это, достаточно заменить sÎA на a(s)=0, где a – функция с действительными аргументами и значениями, множеством нулей которой является A. Аналогичным об­разом можно добавлять в систему и утверждения вида sÏA (что заменяется на a(s)¹0).

Пример 4. Пусть А – пустое множество. Докажем, что *A – пустое множество.

В самом деле, система

хÎА

не имеет действительных решений, поэтому и система хÎ*А не имеет (гипердействительных) решений. Рас­смотрев систему хÏА, получаем аналогичным образом, что если А содержит все действительные числа, то *А содержит все гипердействительные числа. Таким обра­зом, гипердействительным аналогом множества R будет множество *R, так что наши обозначения согласованы.

Вдальнейшем, вместо того чтобы говорить о системе S и ее действительных решениях, а также о системе *S и ее гипердействительных решениях, будем говорить о дейст­вительных и гипердействительных решениях системы S (говоря о гипердойствительных решениях системы S, мы на самом деле будем иметь в виду гипердействительные решения системы *S).

Пример 5. Если A=BÇC, то *A=*BÇ*C. В самом деле, каждая из систем

хÎB, хÎС, хÏА;

хÎA, хÏB;

хÎA, хÏС.

не имеет действительных, и, следовательно, гипердейст­вительных решений. (Точнее, следовало бы говорить об аналогах этих систем) Отсюда получаем, что *В Ç*С Ì *A (первая система), *АÌ*С (вторая) и *AÌ*C (третья), откуда вытекает, что *AÌ*BÇ*C.

Наши требования к системе гипердействительных чисел состояли из двух частей. Во-первых, *R должно быть упорядоченным неархимедовым полем, расширяющим R. Во-вторых, должны существовать ана­логи для всех действительных функций, удовлетворяю­щие требованию одновременной разрешимости систем уравнений. Эти требования оказываются избыточными:

 Скачать реферат