Линейные пространства

2. сложение любых трёх элементов 0c48a5484e5f4122dce7aff4a74802e8.pngиз V подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят – векторное сложение ассоциативно): 1ce5c158f14ccf281bd55afd8fb7f7e9.png

3. сложение любых двух э

лементов 6cb14267b6e99b3813e8cedc757ee4f4.pngиз V подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): d50ede19d487c63ba132d1ee6a2b7aec.png.

4. существует такой элемент e0a157030a9fc1da78ccfc6cf3c0981c.pngиз V (нулевой вектор), что для любого cb38ec04327dc1c2dd04223c680c1663.png.

5. для любого элемента из V существует такой элемент из V, сумма которого с исходным элементом равна e0a157030a9fc1da78ccfc6cf3c0981c.png, т.е. (dea21d4cf26f3b1f4b16a9f6d61f2eec.png.

Для любых скаляров (чисел) α и β и для любых двух векторов 6cb14267b6e99b3813e8cedc757ee4f4.pngиз V AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

6. b27dc22ca2131a6f6dfad8936fe6d09a.png

7. 24c7c1043e090c5fc8c62c4fe112d9e3.png

8. fbb47dbd208051a95726c1bf24c5bb36.png

9. d5fe4a8b42f996691126ae0c66ed6951.png

Векторное подпространство

Векторным подпространством, или просто подпространством, векторное пространство Е нал полем К называется множество , замкнутое относительно действий сложения и умножения на скаляр. Подпространство, рассматриваемое отдельно от вмещающего его пространства, есть векторное пространство над тем же полем. (5)

Прямой линией, проходящей через две точки x и y векторного пространства Е, называется множество элементов вида, 𝜆. Множество Gназывается плоским множеством, если вместе с любыми двумя оно содержит прямую, проходящую через эти точки. Каждое плоское множество получается из некоторого подпространства с помощью сдвига (параллельного переноса): G=x+F, это означает, что каждый элемент zпредставим единственным образом в виде y , причем при этом равенство осуществляет взаимно однозначное соответствие между F и G.

Совокупность всех сдвигов данного подпространства F образует векторное пространство над K, называется факторпространством E/F, если определитель операции следующим образом:

; , 𝜆

Пусть М = – произвольное множество векторов Е; линейной комбинацией векторов называется вектор x, определенный формулой

,

в которой лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Совокупность всех линейных комбинаций векторов данного множества М является наименьшим подпространством, содержащим М, и называющийся линейной оболочкой множества М. Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю. Множество М называется линейно зависимым множеством, если все нетривиальные линейные комбинации векторов из М отличны от нуля.

В теории действительных и комплексных векторных пространств важную роль играет теория выпуклых множеств. Множество М в действительном векторном пространстве называется выпуклым множеством, если вместе с любыми двумя его точками x, y отрезок также принадлежит М.

Большое место в теории векторных пространств занимает теория линейных функционалов на векторное пространство и связанная с этим теория двойственности. Пусть Е есть векторное пространство над полем К. Линейным функционалом на Е называется аддитивное и однородное отображение усть Е есть векторное пространство над полем К. Линейным функционалом на Е называется аддитивное и однородное отображение

Множество всех линейных функционалов на Е образует векторное пространство над полем К относительно операций

(

Это векторное пространство называется сопряженным (или двойственным) пространством (к Е). С понятием сопряженного пространства связан ряд геометрических терминов. Пусть D⊂E (соответственно множество Г) называется множество

(соответственно); здесь и – подпространства соответственно пространств и Е. Если f – ненулевой элемент, то {f} есть максимальное собственное линейное подпространство в Е, называется иногда гиперподпространством; сдвиг такого подпространства называется гиперплоскостью в Е; всякая гиперплоскость имеет вид

{x: f(x)=𝜆}, где f ≠ 0, f, К.

Подмножество называется тотальным подмножеством над Е, если его аннулятор содержит лишь нулевой элемент ={0}.

Каждому линейно независимому множеству можно сопоставить сопряженное подмножество , т.е. такое множество, что (Кронекера символ) для всех . Множество пар называется при этом биорторгональной системой. Если множество есть базис в Е, то тотально над Е.

Страница:  1  2  3  4 


Другие рефераты на тему «Математика»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2020 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы