Линейные пространства

2. сложение любых трёх элементов из V подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят – векторное сложение ассоциативно):

3. сложение любых двух э

лементов из V подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): .

4. существует такой элемент из V (нулевой вектор), что для любого .

5. для любого элемента из V существует такой элемент из V, сумма которого с исходным элементом равна , т.е. (.

Для любых скаляров (чисел) α и β и для любых двух векторов из V

6.

7.

8.

9.

Векторное подпространство

Векторным подпространством, или просто подпространством, векторное пространство Е нал полем К называется множество , замкнутое относительно действий сложения и умножения на скаляр. Подпространство, рассматриваемое отдельно от вмещающего его пространства, есть векторное пространство над тем же полем. (5)

Прямой линией, проходящей через две точки x и y векторного пространства Е, называется множество элементов вида, 𝜆. Множество Gназывается плоским множеством, если вместе с любыми двумя оно содержит прямую, проходящую через эти точки. Каждое плоское множество получается из некоторого подпространства с помощью сдвига (параллельного переноса): G=x+F, это означает, что каждый элемент zпредставим единственным образом в виде y , причем при этом равенство осуществляет взаимно однозначное соответствие между F и G.

Совокупность всех сдвигов данного подпространства F образует векторное пространство над K, называется факторпространством E/F, если определитель операции следующим образом:

; , 𝜆

Пусть М = – произвольное множество векторов Е; линейной комбинацией векторов называется вектор x, определенный формулой

,

в которой лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Совокупность всех линейных комбинаций векторов данного множества М является наименьшим подпространством, содержащим М, и называющийся линейной оболочкой множества М. Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю. Множество М называется линейно зависимым множеством, если все нетривиальные линейные комбинации векторов из М отличны от нуля.

В теории действительных и комплексных векторных пространств важную роль играет теория выпуклых множеств. Множество М в действительном векторном пространстве называется выпуклым множеством, если вместе с любыми двумя его точками x, y отрезок также принадлежит М.

Большое место в теории векторных пространств занимает теория линейных функционалов на векторное пространство и связанная с этим теория двойственности. Пусть Е есть векторное пространство над полем К. Линейным функционалом на Е называется аддитивное и однородное отображение усть Е есть векторное пространство над полем К. Линейным функционалом на Е называется аддитивное и однородное отображение

Множество всех линейных функционалов на Е образует векторное пространство над полем К относительно операций

(

Это векторное пространство называется сопряженным (или двойственным) пространством (к Е). С понятием сопряженного пространства связан ряд геометрических терминов. Пусть D⊂E (соответственно множество Г) называется множество

(соответственно); здесь и – подпространства соответственно пространств и Е. Если f – ненулевой элемент, то {f} есть максимальное собственное линейное подпространство в Е, называется иногда гиперподпространством; сдвиг такого подпространства называется гиперплоскостью в Е; всякая гиперплоскость имеет вид

{x: f(x)=𝜆}, где f ≠ 0, f, К.

Подмножество называется тотальным подмножеством над Е, если его аннулятор содержит лишь нулевой элемент ={0}.

Каждому линейно независимому множеству можно сопоставить сопряженное подмножество , т.е. такое множество, что (Кронекера символ) для всех . Множество пар называется при этом биорторгональной системой. Если множество есть базис в Е, то тотально над Е.

 Скачать реферат