Афинные преобразования на плоскости

X

Рис. 10

Решение сформулированной задачи разбивается на несколько шагов. Опишем последовательно каждый из них.

1-й шаг. Перенос на вектор –А (-a, -b, -c) при помощи ма

трицы





-a -b -c 1

В результате этого преноса мы добиваемся того, чтобы прямая L проходила через начало координат.

2-й шаг. Совмещение оси аппликат-с прямой L двумя поворотами вокруг оси абсцисс и оси ординат.

1-й поворот – вокруг оси абсцисс на угол (подлежащий определению). Чтобы найти этот угол, рассмотрим ортогональную проекцию L’ исходной прямой L на плоскость X = 0 (рис. 11).

Y



0

Рис. 11

Направляющий вектор прямой L’ определяется просто – он равен

(0, m, n).

Отсюда сразу же вытекает, что

cos n / d, sin = m / d, (4.10)

где

d = m2 + n2 (4.11)

Соответствующая матрица вращения имеет следующий вид:

1 0 0 0

0 -m/d n/d 0

0 0 0 1

Под действием преобразования, описываемого этой матрицей, координаты вектора (l, m, n) изменятся. Подсчитав их, в результате получим

(l, m, n, 1)[ Rx ] = (l, 0, d, 1). (4.13)

2-й поворот вокруг оси оси ординат на угол , определяемый соотношениями

сos  = l, sin  = -d (4.14)

Cоответствующая матрица вращения записывается в следующем виде:

ld

-dl



3-й шаг. Вращение вокруг прямой L на заданный угол 

Так ка теперь прямая L совпадает с осью аппликат, то соответствующая матрица имеет следующий вид:

 Скачать реферат