Афинные преобразования на плоскости

Формулы (2.1) и (2.2) можно рассматривать двояко: либо сохраняется точка и изменяется координатная система (рис. 2) – в этом случае произвольная точка М остается той же, изменяются лишь ее координаты (х, у) | (х*, y*), либо изменяется точка и сохраняется координатная система (рис. 3) – в этом случае формулы (2.1) и (2.2) задают отображение, переводящее произвольную точку М (х, у) в точку М* (х*

, у*), координаты которой определены в той же координатной системе.

X*

Рис. 2

Рис. 3

В дальнейшем, формулы (2.1) и (2.2) будут рассматриваться как правило, согласно которому в заданной системе прямолинейных координат преобразуются точки плоскости.

В аффинных преобразованиях плоскости особую роль играют несколько вжных частных случаев, имеющих хорошо прослеживаемыегеометрические характеристики. При исследовании геометрического смысла числовых коэффицентов в формулах (2.1) и (2.2) для этих случаев удобно считать, что заданная система координат является прямоугольной декартовой.

1. Поворот вокруг начальной точки на угол (рис. 4) описывается формулами:

х* = x cosy sin

y* = x siny cos

2. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей можно задать так:

x* = x, (2.5)

y* = y, (2.6)



Растяжение (сжатие) вдоль оси абсцисс обеспечивается при условии, что На рис. 5 

1. Отражение (относительно оси абсцисс) (рис. 6) задается при помощи формул:

x* = x, (2.8)

y* = -y. (2.9)

2. На рис. 7 вектор переноса ММ* имеет координаты . Перенос обеспечивает соотношения:

x* = x + 

y* = y + 

 Скачать реферат