Афинные преобразования на плоскости



В. Матрица отражения (reflection)

1 0 0

[ M ] = 0 -1 0 (3.7)

0 0 1

Г. М

атрица переноса (translation)

1 0 0

[ T ] = 0 1 0 (3.8)



Рассмотрим примеры аффинных преобразований плоскости.

Пример 1. Построить матрицу поворота вокруг точки А (a, b) на угол  (рис. 9).

Рис. 8

1-й шаг. Перенос на вектор – А (-a, -b) для смещения центра поворота с началом координат;

1 0 0

[ T-A ] = 0 1 0 (3.9)

-a -b 1

матрица соответствующего преобразования.

2-й шаг. Поворот на угол 

cos sin 

[ R ] = -sin cos (3.10)

0 0 1

матрица соответствующего преобразования.

3-й шаг. Перенос на вектор А (a, b) для возвращения центра поворота в прежнее положение;

1 0 0

[ TA ] = 0 1 0 (3.11)

a b 1

матрица соответствующего преобразования.

Перемножим матрицы в том же порядке, как они выписаны:

[ T-A ] [ R ] [ TA ].

В результате получим, что искомое преобразование (в матричной записи) будет выглядеть следующим образом:

cos  sin 0

(x* y* 1) = (x y 1) -sin cos 0 (3.12)

-a cos + b sin  a -a sin - b cos  + b 1

Элементы полученной матрицы (особенно в последней строке) не так легко запомнить. В то же время каждая из трех перемножаемых матриц по геометрическому описанию соответствующего отображения легко строится.

Пример 2. Построить матрицу растяжения с коэффицентами растяжения  вдоль оси абсцисс и вдоль оси ординат и с центром в точке А (a, b).

1-й шаг. Перенос на вектор –А (-a, -b) для совмещения центра растяжения с началом координат;

1 0 0

[ T-A ] = 0 1 0 (3.13)

-a -b 1

матрица соответствующего преобразования.

2-й шаг. Растяжение вдоль координатных осей с коэффицентами исоответственно; матрица преобразования имеет вид



D ] = 

 Скачать реферат