Операторные уравнения

Степенные ряды – это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от параметра.

Рассмотрим в нормированном пространстве X ряд вида , где xк Î X, а – вещественное или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новую переменную –0 = , то в дальнейшем мы полагаем 0 = 0 и рассматриваем степенные ряды вида

(1)

Конечная сумма называется частичной суммой степенного ряда (1).

Пусть – множество всех точек , для которых ряд (1) сходится. называется областью сходимости ряда (1).

Сумму ряда (1) при Îобозначим через S() (это абстрактная функция, определенная на со значениями в X), при этом будем писать

, при Î.

Последнее равенство означает, что Sn() → S() при n→∞ для всех Î.

Очевидно, область сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 Î. Как и в случае скалярных функций, справедлива следующая теорема.

Теорема 10 (Абель). Пусть0 ≠ 0 и 0 Î, тогда круг содержится в . Во всяком круге Sr(0), где r < , ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно относительно .

Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге SR(0), R>0:

;

тогда равны все их коэффициенты: (k=0, 1, 2, …)

Дифференцирование абстрактных функций

Пусть функция числового переменного λ со значениями в банаховом пространстве X определена в окрестности точки λ0.

По определению производной x’(λ0) функции x(λ) в точке λ0 называется предел

,

если этот предел существует (и конечен). Если имеет производную в точке λ0, то она называется дифференцируемой в этой точке.

§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора

Абстрактную функцию x() будем называть аналитической при =0, если она представима в некоторой окрестности точки =0 сходящимся степенным рядом:

(1)

с ненулевым радиусом сходимости.

Теорема 12. Если x() – аналитическая абстрактная функция при =0, то x() непрерывна в круге SR(0), где R – радиус сходимости степенного разложения (1).

Теорема 13. Если x() – аналитическая абстрактная функция при =0, то x() дифференцируема в круге SR(0) сходимости своего степенного разложения.

Пусть x() бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида

называется рядом Тейлора функции x().

Если x() аналитична при =0, то ее ряд Тейлора, в силу теоремы 10, является ее степенным разложением и, значит, сходится к ней в SR(0).

Понятие абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике методе малого параметра.

§6. Метод малого параметра в простейшем случае

Рассмотрим следующее уравнение:

Аx –Сx=y. (1)

Здесь А, С ÎL(X,Y) и y ÎY заданы, - скалярный параметр, , а неизвестное x разыскивается в X. Если , т.е.

, (2)

то, согласно теореме 9, оператор А–С непрерывно обратим, и тогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной формулой

 Скачать реферат