Разностные схемы для уравнений параболического типа

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image209.gif. (3.21)

Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13) шаг по времени http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/<p>math/22.files/image207.gif приходится выбирать очень малым.

Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image212.gif

Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон

и перепишем ее в виде

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image214.gif(3.22)

Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить, например, значения http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image138.gif на первом временном слое со значениями http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image216.gif на нулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n=0, получим:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image218.gif(3.23)

Формулы (3.23) представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image220.gif .

Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобны для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок оси x, на котором рассматривается задача Коши, конечен, то есть http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image222.gif, а на прямых x=aи x=b дополнительно заданы некоторые ограничения на решение http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image013.gif, то разностные схемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image225.gif.

Если, например, на отрезках прямых x=a и x=b, заданы условия http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image227.gif, http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image229.gif, то вид системы (3.23) существенно изменится:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image006.gifhttp://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image231.gif(3.24)

Формулы (3.24) представляют собой систему M+1 алгебраических уравнений относительно http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image233.gif. Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image235.gif. Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image237.gif

число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.

Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6) с погрешностью порядка http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image239.gif и устойчива при http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image241.gif. Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image239.gif.

Страница:  1  2  3  4 


Другие рефераты на тему «Математика»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2024 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы