Особые свойства Гамма-функции Эйлера

Реферат

Целью данной курсовой работы является изучение особых свойств Гамма-функции Эйлера. В ходе работы была изучена Гамма-функция, её основные свойства и составлен алгоритм вычисления с разной степенью точности. Алгоритм был написан на языке высокого уровня - Си. Результат работы программы сверен с табличным. Расхождений в значениях обнаружено не было.

Пояснительная з

аписка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.

Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

1. Бэта-функция Эйлера

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

=(1.1)

Он представляет функцию от двух переменных параметров и : функцию B. Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и

Интеграл (1.1) сходятся при .Полагая получим:

= -=

т.e. аргумент и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда получаем

=

(1.2)

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

Получим

(1.3)

при целых = m,= n, имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

и в результате подстановки , получаем

полагая в(1.1) ,откуда , получим

(1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

2. Гамма-функция

2.1 Определение

Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

n! = 1·2·3· .·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.

Рассмотрим разностное уравнение

G(z+1)=zG(z).

(2.1)

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.

2.2 Интегральное представление

Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:

В этом случае правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:

Эта формула справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p® ±¥. Предположим, что образ гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.

 Скачать реферат