Разностные схемы для уравнений параболического типа

Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n = 0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений , в правой части будут значения известной функции eight=29 id="Рисунок 80" src="images/referats/3093/image066.png" alt="http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image144.gif"> и . Для вычисления значений на первом слое в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3.14) называют неявной.

2. Устойчивость двухслойных разностных схем

Определим норму в пространстве по правилу

.

Рассмотрим явную разностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r, возможна устойчивость этой схемы.

Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых

,

имеет место оценка ,

где М – постоянная, не зависящая от и и .

Разностная схема (3.13) – явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.

Перепишем формулу в виде

, , (3.17)

.

Пусть выполнено условие

или . (3.18)

Тогда из (3.17) получим:

,

или

. (3.19)

Неравенство (3.19) означает, что при , не превосходит , то есть не возрастает с увеличением n.

Это свойство однородной разностной схемы принято называть принципом максимума. Положим в (3.19) . Это даст

,

,

.

Заметим, что есть число, независящее от m и n. Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что , получим

(3.20)

где обозначено

На основании (3.20) можно записать

или .

Таким образом, разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на и h, устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что

 Скачать реферат