Особые свойства Гамма-функции Эйлера

Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма, а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует

вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула:

log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C0(C1+C2/(x+1)+C3/(x+2)+ .+C7/(x+8))/x)

Значения коэффициентов Ck - табличные данные (см. в программе).

Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

Заключение

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения:

Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965

6.Асимптотика и специальные функции

Ф.Олвер, М.,Наука,1990.

7.Зоопарк чудовищ или знакомство со спецмальными функциями

О.М.Киселёв,

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 - График гамма-функции действительного переменного

Приложение 2 – График Гамма-функции

Таблица – таблица значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 3 – листинг программы, рисующий таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 4 – листинг программы, рисующей график гамма-функции

СОДЕРЖАНИЕ

Реферат . .3

Введение . .4

Теоретическая часть…………………………………………………….5

Бета функция Эйлера…………………………………………….5

Гамма функция . .8

2.1. Определение……………………………………………… .8

2.2. Интегральное представление………………………………8

2.3. Область определения и полюсы………………………… 10

2.4. Представление Ганкеля через интеграл по петле……… 10

2.5. Предельная форма Эйлера……………………………… .12

2.6. Формула для произведения……………………………… 13

Производная гамма функции 15

Вычисление интегралов. Формула Стирлинга .18

Примеры вычислений интегралов . 23

Практическая часть…………………………………………………….24

Заключение . 25

Список литературы…………………………………………… 26

Приложения…………………………………………………………… 27

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

График гамма-функции действительного переменного

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

График Гамма-функции

ТАБЛИЦА

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<iostream.h>

#include<math.h>

#include<conio.h>

#define CN 8

static double cof[CN]={

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

-86.50532032941677,

24.01409824083091,

-1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

-0.5395239384953e-5,

};

double GammLn(double x) {

double lg,lg1;

lg1=log(cof[0]*(cof[1]+cof[2]/(x+1)+cof[3]/(x+2)+cof[4]/(x+3)+cof[5]/(x+4)+cof[6]/(x+5)+cof[7]/(x+6))/x);

lg=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;

return lg;

}

double Gamma(double x) {

return(exp(GammLn(x)));

}

void main()

{

double x[8],g[8];

int i,j;

clrscr();

cout<<"vvedite x[1]";

cin>>x[1];

printf("\n\t\t\t _");

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t _");

for(i=1;i<=8;i++)

{

x[i+1]=x[i]+0.5;

g[i]=Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

}

printf("\n\t\t\t _");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

getch();

}

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

#include<stdio.h>

#include<graphics.h>

#include<math.h>

#include<conio.h>

Double gam(double x, double eps)

{

Int I, j, n, nb;

Double dze[5]={1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Double a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

If(x<=0)

{

Printf (“вы ввели неправильные данные, попробуйте снова\n”); return -1.0;

}

If(x<i)

{

A=x+1.0;

Fc=1.0/x;

}

While (a>=2)

{

A=a-1.0;

Fc=fc*a;

}

A=a-1.0;

If(a==0) return fc;

B=a*a;

S=0;

For (i=0;i<5;i++)

{

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

B=-b*a;

}

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

For (n=1;n<=nb;n++)

{

B=a/n;

Si=0;

For(j=0; j<5; j++)

{

Si=si+b/(j+1.0);

B=-b*a/n;

}

S=s+si-log(1.0+a/n);

}

Y=exp(-ce*a+s);

Return y*fc;

}

Main()

}

Double dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, “ ”);

X0=30;

YN0=getmaxy()-20;

Line(30, getmaxy ()-10,30,30);

Line(20, getmaxy ()-30, getmaxx ()-20, getmaxy ()-30);

X=170;

Y=450;

Do{

Moveto(X,Y);

DO{

Y=Y-1;

Lineto(X,Y);

Y=Y-10;

Moveto(X,Y);

}while (Y>30);

X=X+150;

Y=450;

}while (X<700);

X=30;

Y=366;

Do{

Moveto(X,Y);

Do{

X=X+1;

Lineto(X,Y);

X=X+10;

Moveto(X,Y);

}while (X<=620);

Y=Y-84;

X=30;

}while (y>=30);

X=30+150.0*0,1845;

Moveto(X,30);

 Скачать реферат