Произведение двух групп

Пусть порядок четен. Если , то непроста по лемме 2. Значит, и . Пусть mg width=15 height=17 src="images/referats/11745/image068.png">- силовская 2-подгруппа из . Если инвариантна в , то инвариантна и в . Следовательно, - циклическая группа. Но не является силовской в , поэтому содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой группе . Теперь для инволюции из центра имеем , т. е. не максимальная в . Противоречие.

Следствие. Пусть группа , где группа содержит циклическую подгруппу индекса . Если - 2-разложимая группа четного порядка, то группа непроста.

Лемма 5 . Пусть группа содержит циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 2. Если - 2-разложимая группа, то группа разрешима.

Доказательство. Применим индукцию к порядку . Если , то ввиду леммы 1 фактор-группа удовлетворяет условиям леммы. По индукции, разрешима, отсюда разрешима и .

Пусть . Если - циклическая, то разрешима по теореме В. А. Ведерникова. Поэтому , - циклическая подгруппа индекса 2, . Пусть , где - силовская 2-подгруппа из , - ее дополнение. Если , то разрешима. Теперь и можно считать силовской 2-подгруппой в . Так как и , то . Пусть и . Тогда и . По лемме С. А. Чунихина подгруппа максимальна в и . Представление группы подстановками смежных классов по подгруппе дважды транзитивное: если - простое число, если - составное. Из леммы 3 вытекает теперь, что .Противоречие.

Доказательство теоремы 1 . Применим индукцию к порядку группы G. Пусть и - циклические инвариантные подгруппы в и в соответственно, чьи индексы равны 1 или 2, а и - те силовские 2-подгруппы из и , для которых и есть силовская 2-подгруппа . Будем считать, что . Если , то и разрешима по теореме Ито-Хупперта. Поэтому в дальнейшем полагаем, что . Ввиду леммы 1 каждая фактор-группа удовлетворяет условиям теоремы, поэтому

 Скачать реферат