Произведение двух групп

Таким образом, силовская 2-подгруппа в группе есть диэдральная группа порядка 4 или 8. По результату Горенштейна - Уолтера группа изоморфна , или подгруппе группы . Так как , не допускает требуемой факторизации, то группа - из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.

В заключение отметим, что, используя технику доказательств теорем 1--3 и следствие леммы 4, можно получить описание неразрешимых групп при условии, что - 2-разложимая группа, а в группе существует циклическая подгруппа индекса .

2. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

В 1953 г. Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. Развивая этот результат, В. Скотт получил разрешимость конечной группы , допустив в качестве множителей еще так называемые дициклические группы. Эти результаты достаточно подробно изложены в монографии. Диэдральные и дицикдические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но далеко не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2.

В 1974 г. автор установил разрешимость конечной группы при условии, что факторы и содержат циклические подгруппы индексов 2, тем самым решив задачу, рассматриваемую Хуппертом и Скоттом. В настоящей заметке показывается, что 2-длина таких групп не превышает 2, а -длина равна 1 для любого нечетного . Эти оценки точные, на что указывает пример симметрической группы . Получены также два признака сверхразрешимости конечной факторизуемой группы.

Все встречающиеся определения и обозначения общеприняты. В частности, - множество простых делителей порядка , a - циклическая группа порядка .

Лемма 1 . Метациклическая группа порядка для нечетного простого неразложима в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка и подгруппы порядка .

Доказательство. Допустим противное и пусть - метациклическая группа порядка , разложимая в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка и подгруппы порядка , - нечетное простое число. Ясно, что неабелева. Если содержит нормальную подгруппу порядка с циклической фактор-группой , то содержится в центре и абелева по лемме 1.3.4, противоречие. Следовательно, содержит циклическую подгруппу индекса и подгруппа , порожденная элементами порядка , является элементарной абелевой подгруппой порядка по теоремам 5.4.3 и 5.4.4. Теперь , и подгруппы порядка не существует. Значит, допущение неверно и лемма справедлива.

При утверждение леммы неверно, контрпримером служит диэдральная группа порядка 8.

Лемма 2 . Разрешимая конечная группа с циклической подгруппой Фиттинга сверхразрешима.

Доказательство. Пусть - конечная разрешимая группа с циклической подгруппой Фиттинга . Так как , то как группа автоморфизмов циклической группы будет абелевой по теореме 1.3.10, поэтому сверхразрешима.

Лемма 3 . Если в сверхразрешимой группе нет неединичных нормальных 2-подгрупп, то силовская 2-подгруппа абелева.

Доказательство. Коммутант сверхразрешимой группы нильпотентен (теорема VI.9.1), поэтому силовская 2-подгруппа из коммутанта нормальна в группе. Если коммутант имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа в группе абелева.

Напомним, что - наибольшая нормальная в -подгруппа, - центр группы , а - наименьшая нормальная в подгруппа, содержащая . Через обозначается -длина группы .

 Скачать реферат