Произведение двух групп

Допустим, что . Если , то и . Так как разрешима, то t=21 src="images/referats/11745/image126.png">. Если , то и разрешима.

Пусть теперь . Тогда и . Так как не является силовской подгруппой в , то содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой 2-группе . Обозначим через силовскую 2-подгруппу из . Очевидно, что инвариантна в .

Предположим, что и пусть - инволюция из . В все подгруппы характеристические и инвариантна в , поэтому и . Пусть - максимальная в подгруппа, которая содержит . Тогда разрешима по индукции. Если , то содержится в и . Значит, . Так как - собственная в подгруппа, то , и . Теперь - дважды транзитивная группа степени на множестве смежных классов по : если - простое число, то применимо утверждение из, стр. 609; если составное. Из леммы 3 получаем, что . Противоречие.

Следовательно, . Если , то и .Так как не содержит подгрупп, инвариантных в , то представление группы подстановками по подгруппе - точное степени 4. Поэтому - группа диэдра порядка 8, и . В этом случае неабелева. Напомним, что и . Таким образом, для силовской 2-подгруппы из имеем: - группа порядка 4 или неабелева группа порядка 8 (если ).

Предположим, что порядки групп и делятся одновременно на нечетное простое число и пусть и - силовские -подгруппы из и соответственно. Так как инвариантна в , a инвариантна в , то и - силовская -подгруппа в . Без ограничения общности можно считать, что . По теореме VI.10.1 из группа содержит неединичную подгруппу , инвариантную в . Но теперь и , а так как инвариантна в , a разрешима, то по лемме С. А. Чунихина. Противоречие. Следовательно, порядки и не имеют общих нечетных делителей. В частности, в группе силовские подгруппы для нечетных простых чисел циклические.

 Скачать реферат