Теория вероятностей на уроках математики

Эта таблица показывает неодинаковые возможности появления этих событий при одном испытании: более возможно то событие, которому благоприятствует большее число равновозможных элементарных событий данного пространства. Эти числа и могли бы быть численной мерой возможностей появления различных событий, связанных с данным испытанием.

А как сравнить возможности появления событий А1 и В1, котор

ые связанны с различными пространствами элементарных событий?

Пусть в одном ящике 10 черных шаров пронумерованных четными числами 2,4,….18, 20, а в другом 8 белых шаров, пронумерованных числами 1,3,5,7,9,11,13,15. Наугад вынимаем из ящика по одному шару. Пусть А1-"номер черного шара, кратный 3", событие В1-"номер белого шара не больше 5".

Какое из этих событий более возможно?

Событию А1 благоприятствует 3равновозможных события (6,12,18), событию В1 тоже 3 (1,3,5). Может быть А1 и Б1 равновозможные события? Ответить на заданный вопрос можно, только зная количество всех равновозможных элементарных событий пространства, связанного с выниманием белого шара.

Полная информация об этих событиях может быть представлена в форме таблицы 2.:

Таблица 2.

Приходим к выводам:

А) событие В1 более возможное, чем событие А1;

Б) возможность появления некоторого события n удобно измерять отношением m/n, где n - число всех равновозможных элементарных событий вытекающих из условий данного испытания, а m-число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию Н.

Эту удобную меру возможности появления события Н принято называть вероятностью этого события и обозначать символом Р(Н) =m/n.

Определение 1. вероятностью случайного события Называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.

Это классическое определение вероятности случайного события.

Р=(И) =n/n=1, т. к. число возможных исходов испытания равно числу исходов, благоприятствующих появлению события.

Р=(_) =o/n=o, т. к. число исходов испытания, благоприятствующих появлению невозможного события, равно 0.

П.2. Статистическое определение вероятности

При классическом подходе определения понятия вероятности сводится к более простому понятию – равно возможности элементарных событий. А это понятие основного на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равно возможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.

Какова вероятность выпадения шестерки, при подбрасывании такой кости?

Как известно вероятность выпадения шестерки при подбрасывании правильной игральной кости, равна 1÷6.

Допустим, провели n бросаний такой кости и определили, что шестерка выпала m раз. Отношение m÷n назовем статистической частотой появления шестерки. При проведении серии таких испытаний, может случится, что

при подбрасывании кости n раз шестерка выпала m1раз; статистическая частота Р1=m1÷n;

при подбрасывании кости n+1раз шестерка выпала m2раз: статистическая частота Р2=m2÷n+1;

при подбрасывании кости Nраз шестерка выпала mN раз: статистическая частота РN=mN÷N.

Заметим, что для статистических частот р1,р2,р3,…. рN будет характерна устойчивость: они будут с возрастанием числа испытаний сколь угодно близко сосредотачиваться около вероятности Р=1÷6.

Подбрасывая неправильную кость и определяя статистические частоты появления, например, шестерки, заметил такую же устойчивость этих частот, но эти частоты с возрастанием числа испытаний устойчиво будут сосредотачиваться около некоторого, в результате неправильности игральной кости нам неизвестно числа Р. Это неизвестное число в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании неправильной игральной кости выступает как бы в роли 1÷6 в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании правильной игральной кости. Будем считать это неизвестное число Р вероятностью выпадшей шестерки при бросании неправильной игральной кости. Для каждой неправильной игральной кости это Р будет разное.

Пусть m1÷n; m2÷n+1; . .; mN÷N – статистическая частота наступления события А в некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например, подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты)

Определение 2. вероятностью события А называется то неизвестное число Р, около которого сосредотачиваются значения статистических частот наступления события А при возрастании числа испытаний.

Это – статистическое определение вероятности случайного события.

П.3. Геометрическое определение вероятности.

Пусть на плоскости задан круг и нем треугольник В. В круг на удачу "бросается точка". Как определить вероятность события Н, состоящего в том, что точка попадает в треугольник?

При решении этой задачи будем пользоваться следующем исходным положением: вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорционально площади этой части.

Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности Р(А) =mk единиц площади ÷nk единиц площади = m÷n.

На конкретном примере можно увидеть, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий Е и пространство представляющее событие А, были одинакового вида и одинаковых измерений.

Пример

Пусть на плоскости задан круг и определен его сектор ВОС (рис11), <ВОС=α. Рассмотрим вероятности трех событий А1, А2, А3, состоящих в следующем: в круг на удачу бросается точка М. А1-"попадание М1 в сектор ВОС". На дугу окружности наугад бросается точка N. А2-"попадание N на дугу ВОС". На рисунок на удачу бросается вектор OS, начало которого закреплено в точке О.

 Скачать реферат