Теория вероятностей на уроках математики

В темы сформулированы и доказаны следующие утверждения:

1. Если события А и В несовместны, то Р(АUВ) =P(A) +P(B).

В основе доказательства лежит подсчет всевозможных исходов события А и В и определения объединения событий.

2. Если события А1, А2, . . Аn попарно несовместны, то вероятность объединения этих событий равна сумме их вероятностей:

Р(А1UA2U . . UAn) =P(A1) +P(A2) + . +P

(An)

Для доказательства применяется определение несовместных событий и утверждение 1.

3. Для любого события А имеем:

Р(А) =1-Р(А).

Для доказательства исполняются факты: AUA - есть достоверное событие (И) и Р(И) =1. А∩А – невозможное событие (ǿ) и утверждение 1.

4. Для любых двух событий справедливо равенство Р(АUВ) =P(A) +P(B) - Р(А∩В)

Идея доказательства состоит из:

· разложения событий А и В на компоненты;

· нахождение объединения события А и события В;

· нахождение вероятности объединения событий А и В;

· нахождение суммы вероятности события А и события В.

5. пусть вероятностное пространство И представлено в виде объединения попарно несовместных событий Х1,,……, Хn: И=Х1UX2U . . UХn, где Xi∩Xj=ǿ при i≠j. Тогда для любого события А верно равенство: Р(А) =Р(Х1) Р(А/Х1) +…+Р(Хn) P(A/Xn).

Для доказательства находится пересечение события А и вероятностного пространства И. пользуясь законом дистрибутивности операции пересечения событий, теоремой сложения вероятностей и условием, что Xi∩Xj-невозможное событие, получается, что событие А является объединением попарно несовместных событий А∩Х1,…А∩Хn. Находится вероятность Р(А) и применяется формула условной вероятности.

6. Пусть вероятность события А равна Р, и пусть Рmn-вероятность того, что в серии из n независимых испытаний это событие произойдет m раз. Тогда справедлива формула Бернулли Pmn=Cn в степени m* p в степени m * q в степени n-m.

Идея доказательства: подсчет благоприятных серий испытаний, нахождение вероятности каждой из них и использование условия, что любые две различные серии несовместны.

Теория вероятности рассматривается в учебниках Ю.М. Колягина и других "Алгебра и начало анализа 11" для общеобразовательных классов и А.Л. Вершера, А.П. Харпа "Математика 11" для учащихся гуманитарного профиля.

Представленные в учебном пособии задачи считаем возможным квалифицировать следующим образом: (Основа классификации - теоретические сведения основ теории вероятностей).

Вычисление вероятности как относительной частоты (частости) появления события (NN 493-499)

Определение множества исходов испытания (NN 499-508)

вычисление вероятности по классическому определению вероятности:

а) число исходов испытания определяется методом "перебора" (NN 516-521)

б) число исходов испытания определяется с применением формул комбинаторики (NN 522-548)

4. Алгебра событий (NN 533-548)

5. Вычисление вероятности по теоремам сложения вероятностей (NN 549-553)

6. Вычисление условной вероятности (NN 565-579).

§3. Методические особенности изучения основ теории вероятностей в классах с углубленным изучением математике

П.1. Виды событий

Изучение теории вероятностей начинается с введения понятий событий: достоверных, невозможных и случайных. Это можно сделать следующим образом: в жизни вы часто слышали или употребляли в разговоре следующие фразы: "Важное событие", "Вот это событие", и т.д. А что же такое событие? Как вы понимаете это слово? Приведите примеры событий. После этого учитель может подвести итог, введя определенные события (это исход наблюдения или опыта).

Рассмотрим следующие события:

1) при понижении температуры до 90° вода превращается в лед;

2) при понижении температуры вода закипает;

3) при бросании монеты выпал герб.

Охарактеризуем эти события: насколько достоверно каждое из них? Вероятно ли то, что они утверждают? Первое верно, т. к вода обязательно замерзнет, если понизить температуру, поэтому это событие называется достоверным. Второе никогда не произойдет, поэтому оно называется невозможным. К какому же виду событий следует отнести третье? Всегда ли оно имеет место? Нет! Может случится, что выпадет решка и сто выпадет герб. Поэтому это событие называется случайным. Вводится определение случайного события (это такой исход наблюдения или эксперимента, который может произойти, а может не произойти).

После беседы учащимся целесообразно предложить устную работу. Ее содержание может быть следующим:

1. Определить вид следующих событий.

При нагревании проволоки ее длина увеличилась;

При бросании игральной кости выпало 4очка;

При бросании монеты выпала решка;

При осмотре почтового найдены 3 письма;

При бросании игральной кости количество выпавших очков есть натуральное число;

При стрельбе по мишени стрелок дважды попал в цель.

2. Являются ли следующие события невозможными?

Получение всеми учениками вашего класса отличных оценок за очередную контрольную работу по математике;

Замена всех завтрашних уроков просмотром приключенческого фильма.

3. Приведите примеры событий, которые вы считаете:

Достоверными;

Невозможными

Случайными

Целесообразно подготовить сообщения учеников на темы:

1) Теория вероятности как наука.

2) Применение теории вероятности.

Цель: показать учащимся обширность областей применения теории вероятностей, ее значимость в науке и в жизни.

Для ознакомления учащихся с понятием частоты появления какого-либо события в длинной серии испытаний рекомендуется выполнение ряда упражнений, которые требуют ответа на вопрос: "Какое из событий вероятней? ".

Учителю необходимо пояснить учащимся, что сравнивать события следует по их вероятностям.

Например. Что вероятнее –появление герба при бросании монеты или появления нечетного числа очков при бросании игральной кости?

Решение.

Вероятность появления герба при бросании монеты равна 1\2, а появление нечетного числа очков при бросании игральной кости равна 3\6 или 1\2.

Следовательно, эти события равновероятные.

После изучения данного материала, ученики должны уметь:

Приводить примеры достоверных, невозможных и случайных событий;

Уметь классифицировать события на достоверные, невозможные и случайные;

Из нескольких событий выделять наиболее вероятное, объяснять свой выбор.

П.2. Вероятностное пространство

При введении понятия "вероятностное пространство" ученики сталкиваются с понятием опыта или испытания. Но этому понятию нельзя дать математическое определение. Ученики должны понимать, что значат слова: "подбросим монету и посмотрим упала она вверх гербом и цифрой" или "зажжем свечу и посмотрим, когда она сгорит". Ученикам следует объяснить, что существенно лишь то, что данное испытание может иметь различные исходы. Для простоты удобно рассматривать лишь случаи, когда множество исходов конечно.

 Скачать реферат