Функциональные представления ограниченных дистрибутивных решеток

Def5.Пусть и — два топологических пространства. Функция называется гомеоморфизмом, если она вза

имно однозначна, а также f и f − 1 непрерывны, то есть прообраз любого открытого множества при этих отображениях открыт.

Гомеоморфизм называется локальным, если каждая точка обладает окрестностью, гомеоморфно отображающейся на некоторое открытое подмножество пространства .

1.3 Функциональный пучок

Def6. Тройка называется пучком решеток, если выполняются следующие условия:

1) топологические пространства;

2) локальный гомеоморфизм;

3) Для каждой точки множество является решеткой;

4) Решеточные операции непрерывны;

5) Отображения , ставящие каждой точке соответственно ноль и единицу решетки , непрерывны;

Через обозначен полный прообраз точки при отображении , которое называется проекцией.

Решетка называется слоем пучка в точке .

Пространство является объединением своих слоев , причем для различных слои и считаются непересекающимися, хотя и могут быть изоморфными. Такое объединение называется дизъюнктивным и обозначается .

Пространства и называются накрывающим и базисным пространствами соответственно.

Пусть – пучок полуколец над , и - подпространство в . Сечением пучка над называется такое непрерывное отображение , что - тождественное отображение множества . Сечение над открытым подмножеством называется локальным, а сечение, определенное над всем пространством - глобальным.

Поточечная сумма и произведение двух сечений над снова являются сечениями над т.е. для любого множества множество всех сечений над является решеткой. В случае рассмотрения сечений над всем базисным пространством , говорят о глобальных сечениях, которые в совокупности образуют решетку глобальных сечений пучка над .

Def7. Функциональным (пучковым) представлением решетки называется полукольцевой гомоморфизм

решетки в решетку глобальных сечений некоторого пучка решеток над топологическим пространством . Представление называется точным, полным или изоморфным, если соответственно мономорфизм, эпиморфизм или изоморфизм.

Образ элемента обозначается . Пусть - произвольное пучковое представление решетки и - точка базисного пространства. Каждому элементу соответствует глобальное сечение , которое принимает значение в точке .

Отображение , ставящее в соответствие элементу элемент , является гомоморфизмом.

Если все являются эпиморфизмами, то каждый слой пучка будет гомоморфным образом решетки , а поэтому – фактор-решеткой решетки . В этом случае представление решеткиназывается факторным.

 Скачать реферат