Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам

и теорема справедлива.

Остается случай, когда . Так как - -подгруппа, то

причем - -группа. Противоречие.

Пример 1.14.

Все три значения в теореме 1.13 имеют место. Значение выполняется на любой нильпотентной неединичной группе. Значение выполняется на группе с максимальной подгруппой . Значение выполняется на группе , у которой силовская -подгруппа максимальна.

Если факторгруппа нильпотентна, то группу называют метанильпотентной.

Теорема 1.15. (1) В разрешимой неединичной группе подгруппа Фраттини совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

(2) В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.

Proof. Обозначим через пересечение всех максимальных подгрупп группы , не содержащих , а через пересечение максимальных подгрупп группы , содержащих . Ясно, что подгруппы и характеристические в группе и

(1) В факторгруппе подгруппа Фиттинга

по лемме 1.2, поэтому

Предположим, что и пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Так как подгруппа нормальна в группе и факторгруппа нильпотентна, то по теореме 4.3, с. 35, подгруппа нильпотентна и . Но теперь

противоречие. Поэтому допущение неверно и , т.е. .

(2) Пусть - разрешимая ненильпотентная группа. Ясно, что и

Поэтому подгруппа метанильпотентна.

Пример 1.16. В неразрешимой группе центр, подгруппа Фраттини и подгруппа Фиттинга совпадают и имеют порядок . Поэтому в группе нет максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

Следовательно, утверждение (1) теоремы 1.15 в неразрешимых группах нарушается.

2 -ДЛИНА -РАЗРЕШИМОЙ ГРУППЫ

Пусть - простое число. Назовем группу -группой, если ее порядок не делится на и, как обычно, -группой, если её порядок равен степени числа . Конечную группу будем называть -разрешимой, если каждый из её композиционных факторов является либо -группой, либо -группой. Таким образом, группа разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она -разрешима для всех простых . Ясно, что группа -разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

в котором каждая факторгруппа является либо -группой, либо -группой. Поэтому для такой группы мы можем индуктивно определить верхний -ряд.

потребовав, чтобы была наибольшей нормальной -подгруппой в , а - наибольшей нормальной -подгруппой в .

 Скачать реферат