Некоторые линейные операторы

т. д-на.

Примеры.

1) Рассмотрим в пространстве C[0,1] оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx(t).

Уравнение Аx=x принимает в этом случае вид:

tx(t) - x(t) = y(t),

решение x(t) этого уравнения е

сть функция, тождественно ему удовлетворяющая.

Если лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:

x(t) = y(t),

откуда следует, что все такие значения параметра являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на :

R(y) = y(t).

Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть 0 [0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке 0, y(0) = a 0. Для такой функции равенство (t - 0)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = 0 левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при = 0 уравнение Аx=x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность 0 спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t - )x(t) = 0, [0, 1], при любом t, отличном от , а следовательно, в силу непрерывности и при t = , обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.

2) Пусть оператор А действующий из Е Е, задается матрицей А=.

Аx = = .

Введем обозначения:

= y1

= y2

x1, x2, y1, y2 E;

A - *I = , найдем определитель A - *I:

D(A - *I) = = (2-)*(-2-) – 3 = 2 – 7;

Если определитель отличен от нуля, то есть если не есть корень уравнения 2 – 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра регулярные.

Корни уравнения 2 – 7 = 0 образуют спектр:

1 = ; 2 = -;

1, 2 – собственные значения.

Найдем собственные векторы для собственных значений :

при = получаем:

откуда x1 = (2+)x2; 1-й собственный вектор: ((2+)x, x);

при = - получаем:

откуда x1 = (2 - )x2 ; 2-й собственный вектор: ((2 - )x, x);

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

Рассмотрим пространство непрерывных на отрезке функций, и оператор А, заданный формулой:

Ах(t) = g(t) x(t).

g(t) - функция, непрерывная на [a, b]; a,bR.

Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).

A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).

По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.

 Скачать реферат