Некоторые линейные операторы

Оператор А, действует в пространстве C[a,b], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (fn(t), f0(t)) = | fn(t) - f0(t)|.

Решение:

p (A fn(t), Af0(t)) = |- |.

|- | = || = p (fn(t), f0(t)) = p (fn(t), f0(t)) (x-a) 0

axb.

Таким образом p (A fn(t), Af0(t)) 0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):

|| || ||

|| = 0; || = |b-a|.

0 || |b-a|.

5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||=|A(f)|):

||A|| = |A(f)| = || = (x-a);

a x b;

Норма оператора А: ||A|| = (b-a);

6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.

Возьмем пространство S = {f C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f|| = |f(x)|.

В пространстве S рассмотрим оператор А:

Аf =

x [0,b], t [0,x];

Найдем оператор обратный к (A - *I), R;

(A - *I)*f = g

- *f(x) = g(x) (1)

Пусть функции f и g дифференцируемы;

Продифференцируем уравнение (1), получим:

f - *f/ = g/ (2)

Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.

- f/ =

- + f/ = 0 (3)

Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:

- *U*V + U/ *V + U*V/ = 0

U/ *V + U*V/ - *U*V = -

U/ *V + U*(V/ - *V) = - (4)

Решаем однородное линейное уравнение:

V/ - *V = 0

V/ = *V

= *V

=

LnV = + c

V = *, пусть = с1

V = с1*

Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при условии, что V/ - *V = 0.

Получим уравнение:

U/ * с1*= -

= -

= - *

 Скачать реферат