Некоторые линейные операторы

Покажем, что остальные точки окружности точечному спектру оператора А в пространстве С[0, +).

Рассмотрим U(x) = и число = eight=35 src="images/referats/3114/image160.png">(|| = 1);

U(x+a) = = = U(x);

U(x) = = Cos() + iSin(), принадлежит пространству С[0,b) так как мнимая и действительная части – функции ограниченные, но не принадлежат пространству С[a, +) так как не имеют конечного предела на .

Если точки лежат вне единичного круга, то они регулярные для оператора А в 2-х пространствах.

Покажем, что в пространстве С[0, +) точки = , 2n не будут собственными числами.

Докажем это от противного: пусть найдется = , 2n – собственное число, тогда найдется функция f(x) С[0, +), что

f(x+a) = f(x).

Применим оператор А n раз: f(x+n*a) = nf(x), тогда

f(x+na) = nf(x), у левой части предел конечен;

правая часть предела не имеет, так как не имеет предела последовательность n = = Cos(n) + iSin(n).

Следовательно = , 2n собственным числом не является.

Эти точки будут принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0,+), так как спектр замкнутое множество и граница единичного круга должна принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0, +).

Сделаем вывод:

При ||>1 все точки регулярные;

При ||<1 и =1 – точки спектра;

При = , 2n – точки непрерывного спектра.

Вывод:

Оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[], заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a), где функции f(x), f(x+a) C[], a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция:

1. линейный;

2. непрерывный и ограниченный;

3. норма А: ||A|| = 1;

4. A-1f(x) = f(x-a);

5. Спектр оператора А:

· при ||<1 и =1 – точки спектра;

· при = , 2n – точки непрерывного спектра;

· При ||>1 все точки регулярные.

Заключение

В ходе проделанной работы были рассмотрены основные определения теории линейных операторов: непрерывность, ограниченность, норма, спектр оператора и резольвента. Проведено исследование четыре оператора: оператор умножения на непрерывную функцию, оператор интегрирования, оператор дифференцирования, оператор сдвига. Можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.

Список литературы

1. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука; Главная редакция физико–математической литературы, 1972.

2. Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И. Соболев. - М.: Наука, 1968.

3. Петров, В.А., Виленкин, Н.Я, Граев, М.И. Элементы функционального анализа в задачах [Текст]/ В.А. Петров, Н.Я. Виленкин, М.И. Граев под ред. О.А. Павлович. - М.: Просвещение, 1978.

4. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц; под ред. А.Г. Костюченко; пер. с англ. Л.И. Головина, Б.С. Литягина. – М.: Издательство иностранной литературы, 1926.

 Скачать реферат