Теория поля и элементы векторного анализа

(15)

Пример:

В гидродинамике поле скоростей имеет

дивергенция равна количеству жидкости, рассчитанному на единицу объема, вытекающему из данной точки пространства за одну секунду

, т.е. равна мощности источника жидкости (если > 0).

Если < 0, то в этих точках пространства расположен сток жидкости, с мощностью .

5. Циркуляция вектора вдоль линии

Роток векторного поля

Элементарная циркуляция вектора вдоль линии dl равна (рис. 8а)

(16)

Циркуляция вектора вдоль замкнутой линии L (рис. 8б)

(17)

Пусть контур L ограничивает некоторую поверхность S (рис. 8в). Используем теорему Стокса и преобразуем интеграл по кривой L в интеграл по поверхности S:

(18)

Роток (вихрь) вектора определяется как

(19)

Определение

Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна потоку его ротора через поверхность, ограниченную этим контуром (рис. 9)

(20)

Потенциальное векторное поле

Определение:

Векторное поле называется потенциальным, если существует скалярная величина , такая, что

– называется скалярным потенциалом поля.

Свойства потенциального поля

1. В потенциальном поле отсутствуют вихри (отсутствует ротация), т.е.

Доказательство:

2. Циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю (это следствие п.1)

3. Работа потенциального поля при перемещении точки из одного положения в другое не зависит от пути соединяющего эти положения и равна разности потенциалов в конечных точках.

Циркуляция потенциального поля не зависит от вида кривой, соединяющей две различные точки, и равна разности значений потенциала в данных точках.

отсюда получаем

4. Векторные линии потенциального поля не могут быть замкнутыми.

Доказательство от противоположного:

Допустим, что есть замкнутая векторная линия L. Тогда по определению векторной линии вдоль соответствующего контура и, следовательно, и циркуляция по нему больше нуля , что противоречит свойству 2.

5. Сумма потенциальных векторных полей является потенциальным полем, и потенциал суммы полей равен сумме потенциалов.

Соленоидальное векторное поле

Определение:

Векторное поленазывается соленоидальным (вихревым), если существует векторная величина такая, что

= rot

– называется векторным потенциалом поля .

Свойства соленоидального поля

1. Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось равенство div = 0, т.е. его поток через всякую замкнутую поверхность, погруженную в поле, = 0. Следовательно, соленоидальные поля лишены источников и стоков.

Замечание: Это свойство можно положить в определение.

Доказательство основывается на том, что

=

Следствие = 0

как следствие этого свойства получаем, что поток вектора соленоидального поля через две одинаково ориентированные поверхности S1 и S2, опирающиеся на один и тот же контур L, одинаков.

2. Поток соленоидального поля через два любых сечения векторной трубки одинаков.

Доказательство:

Отрезок векторной трубки, ограниченный сечениями S1, S2 и Sd, можно рассматривать как замкнутую поверхность, помещенную в соленоидальное поле. Поэтому

, но , т.к. .

Учитывая, что и направлены в противоположные стороны, и вводя (–), получим

отсюда следует

3. В соленоидальном поле векторные линии либо замкнуты, либо уходят к границе поля. Так как , то векторные линии поля не могут начинаться или кончаться в области поля, иначе в…? будет существовать сток или исток, что противоречит свойству 1.

 Скачать реферат