Целочисленные функции

(11)

Говорят, что спектры образуют разбиение всех целых положительных чисел, если любое число, отсутствующее в одном спектре, присутствует в другом; но никакое число не содержится одновременно в обоих. Пусть и — вещественные положительные числа, тогда Spec() и Spec() образуют разбиение натуральных чисел тогда и только тогда, когда . Интересное свойство спектров будет доказано в задаче 10. В задаче 17 будет показана связь между мультимножествами Spec() и Spec, где — некоторое положительное число.

V. ‘Mod’: бинарная операция.

Если m и n — целые положительные числа, то неполное частное от деления n на m равно . Для того, чтобы было удобно работать с остатками, введём определение остатка:

.

Это определение можно распространить на произвольные вещественные числа:

(12)

при . Положим .

Дробную часть числа x можно представить как .

Самым важным алгебраическим свойством операции ‘mod’ является распределительный закон:

(13)

Доказательство следует из (11):

.

Приложение операции ‘mod’: разложение n предметов на m групп как можно более равномерных. Решение этого вопроса даёт тождества, справедливые при целых и натуральных .

— выражает разбиение n на m как можно более равных частей в невозрастающем порядке. (14)

— выражает разбиение n на m как можно более равных частей в неубывающем порядке. (15)

Доказательство этих фактов можно найти в книге Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник «Конкретная математика» на с.106-108. Если в (15) заменить n на ëmxûи применить правило (8), то получим тождество, которое справедливо при любом вещественном x и натуральном :

(16)

Глава 2. Целочисленные функции (применение к решению задач)

Задача 1.

Всякое натуральное число представимо в виде: , где . Приведите явные формулы для l и m как функций от n.

Решение:

Тогда

Ответ: , .

Задача 2.

Как выглядит формула для ближайшего целого к заданному вещественному числу x? В случае «равновесия» — когда x лежит ровно посередине между целыми числами — приведите выражение, округляющее результат:

a) в сторону увеличения, т.е. до éxù;

b) в сторону уменьшения, т.е. до ëxû.

Решение:

Пусть вещественное число округляется до .

a) В этом случае до округляются числа , удовлетворяющие неравенству:

Û (по свойству (4)).

b) В этом случае до округляются числа , удовлетворяющие неравенству:

Û (по свойству (4)).

Ответ: a) ; b)

Задача 3.

Вычислите , если m и n — натуральные числа, а — иррациональное число, большее n.

Решение:

= = = = =(так как и ).

Ответ: .

Задача 4.

Докажите, что .

Доказательство:

.

Отсюда , так как n — натуральное число.

Итак, . Что и требовалось доказать.

Задача 5.

Доказать, что если f(x) — непрерывная, монотонно убывающая функция и f(x) — целое Þ x — целое, тогда .

Доказательство:

1 случай: если , то .

 Скачать реферат