Матрицы и определители

= ≠, то есть матрицы А и В некоммутирующие.

Пример 5.

=, =.

Решение.

1) +===,

2) –===;

3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны:

·==·==;

·==·==

==АּВ=ВּА, т. е. данные матрицы коммутирующие.

ЛЕКЦИЯ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

План

1. Определители квадратной матрицы и их свойства.

2. Теоремы Лапласа и аннулирования.

Ключевые понятия

Алгебраическое дополнение элемента определителя.

Минор элемента определителя.

Определитель второго порядка.

Определитель третьего порядка.

Определитель произвольного порядка.

Теорема Лапласа.

Теорема аннулирования.

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ИХ СВОЙСТВА

Пусть А – квадратная матрица порядка n:

А=.

Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое

= det A= Δ=.

Отметим, что определитель существует только для квадратных матриц.

Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.

Определителем второго порядка матрицы называется число, определяемое по правилу:

==– , (1)

т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Пример.

=, тогда == 4 · 3 – ( –1) · 2=12 + 2 = 14.

Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число.

Из определения определителя второго порядка следуют его свойства:

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:

=.

2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:

= – , = – .

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:

=или =.

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:

=0, = 0.

6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:

=+, =+.

 Скачать реферат