Мультипликативность стационарного распределения в открытых сетях с многорежимными стратегиями обслуживания

При выполнении этого условия для эргодичности марковского процесса , описывающего поведение сети, достаточно, чтобы сходился ряд

где – положительное решение уравнения трафика (2.1.1),

причем для случаев, когда не определены, они полагаются равными нулю.

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. В для открытых сетей с «заявкосохраняющими» узлами установлено, что для мультипликативности стационарного распределения необходимо и достаточно, чтобы нетерминальные узлы являлись квазиобратимыми. Поэтому, с учетом условия квазиобратимости (2.1.16) для изолированного узла, которое для узла с номером принимает форму (2.1.24), имеет место первое утверждение теоремы.

Докажем, что при выполнении условия (2.1.24) процесс эргодичен. Как отмечалось ранее, неприводим. Остается воспользоваться эргодической теоремой Фостера , согласно которой достаточно проверить, что система уравнений

где – интенсивность перехода из состояния в состояние ; , определяемая посредством (2.1.26), – интенсивность выхода из состояния , имеет нетривиальное решение такое, что . Действительно, беря , где определяется (2.1.2), получим, что (2.1.27) превращаются в глобальные уравнения равновесия для сети, которым удовлетворяет. А ряд сходится, так как его члены отличаются от членов ряда (2.1.25) постоянным множителем.

Замечание 2.1. Отметим, что для эргодичности марковского процесса достаточно потребовать выполнения следующих двух условий, гарантирующих выполнение (2.1.25):

1) сходится ряд

Здесь условие 2) гарантирует регулярность марковского процесса, который не может за конечное время делать бесконечное число скачков из одного состояния в другое.

Замечание 2.2. Если условие (2.1.24) выполнено во всех узлах и ряд (2.1.25) сходится, то получается простой алгоритм для нахождения стационарных вероятностей:

1. Решается система линейных уравнений (2.1.1).

2. Проверяется выполнение условия (2.1.24).

3. Определяется по формуле (2.1.26) и проверяется сходимость ряда (2.1.25).

4. Определяются с помощью соотношения

где

(Формулы (2.1.28), (2.1.29) получаются из (2.1.18), (2.1.19) с учетом персонификации -го узла и того, что на него в изоляции направляется простейший поток с параметром ).

5. Находится стационарное распределение состояний сети с помощью формулы (2.1.2).

При этом нормировку вероятностей можно производить не раз, как это делалось в пункте 4, а один раз, исходя из условия . Отметим также, что если в сети есть терминальные узлы, в которых условие (2.1.24) не выполняется, то алгоритм существенно усложнится, так как в этих узлах нельзя применить (2.1.28), (2.1.29). Поэтому для таких узлов необходимо добавить процедуру численного решения системы уравнений (2.1.3) – (2.1.8) с последующей его нормировкой.

Замечание 2.3. Нетрудно понять, что совместное стационарное распределение чисел заявок в узлах имеет следующую форму:

где

а совместное стационарное распределение режимов работы узлов – форму:

где

Исходя из этих соотношений можно построить также алгоритм подсчета числовых характеристик узлов в стационарном режиме. Например, можно найти среднее стационарное число заявок в каждом узле, средний стационарный режим работы каждого узла и т.п. В принципе можно построить алгоритм нахождения совместной стационарной производящей функции чисел заявок и режимов работы в узлах сети, алгоритмы нахождения совместной производящей функции чисел заявок и нахождения совместной производящей функции режимов работы узлов в установившемся состоянии.

Пусть – часть выходящего из -го узла потока заявок, покидающих сеть – подмножество нетерминальных узлов . Из леммы 2.2 и результатов работы вытекает

Следствие 1.1 [43, C.133]. Потоки являются независимыми пуассоновскими потоками с параметрами соответственно.

Заметим, что если условию (2.1.23) подчиняются все узлы, то – независимые пуассоновские потоки.

 Скачать реферат