Построение неполной квадратичной регрессионной модели по результатам полного факторного эксперимента

Раздел 1. Построение неполной квадратичной регрессионной модели по результатам полного факторного эксперимента 23

Принципы решения многофакторных оптимизационных задач. Метод крутого восхождения

Задачи материаловедения весьма разнообразны. В наиболее общем виде их можно разделить на две группы:

- экстремальные задачи, целью которых является поиск оптимальных в

том или ином смысле составов материалов, режимов их термической обработки, условий литья, сварки, напыления, обработки давлением и т. п.;

- задачи описания, целью которых является изучение общих закономерностей явлений, происходящих в материалах при изменении их составов, в процессе их изготовления, во время по­следующих обработок. Задачи описания и экстремальные задачи часто решаются вместе.

Во всех случаях ситуация заметно упрощается, если для того или иного явления удается построить некоторую математическую модель.

Предположим, требуется изучить влияние химического состава, условий литья, обработки давлением и последующей термической обработки на свойства материалов выбранной системы. Целью этого исследования является попытка выявить общие закономерности изменения свойств материалов в зависимости от их химического состава и условий обработок, а также поиск материала, обладающего некоторым заданным комплексом свойств. Понятно, что цели исследования легко было бы достигнуть, если бы имелись математические модели, связывающие механические, технологические, эксплуатационные и любые другие свойства материалов изучаемой системы с их химическим составом, режимами литья, деформации, термической обработки, особенностями поверхностных свойств. Решение и задачи описания, и экстремальной задачи представляло бы тогда просто анализ имеющихся моделей.

Возникает вопрос, каким же образом получить такого рода модели? Существуют, по крайней мере, два способа.

Модели можно попытаться построить на основе знаний механизмов явлений, происходящих в материалах при изменении их состава и во время обработок, т. е. теоретическим путем. Построенные таким способом модели представляют исключительную ценность, поскольку их можно использовать не только для решения данной конкретной задачи, но и во многих других случаях.

К сожалению, механизмы большинства явлений или процессов, происходящих в различных материалах, к настоящему времени изучены явно недостаточно. Во всяком случае, строгих количественных теорий, как правило, не существует, а потому только из теоретических соображений построить модели для каждого конкретного случая почти никогда не удается. Тем не менее, рассматриваемая задача является стандартной в технологии металлов, материаловедении, порошковой металлургии и в технологии нанесения покрытий, а сами задачи такого рода, конечно же, решаются. Следовательно, решаются они при неполном знании (а иногда и вообще при незнании) механизмов явлений, протекающих в материалах. И способ решения вполне определенный – эмпирический, экспериментальный. Отсюда следует, что наиболее реалистичным путем построения математических моделей является эксперимент.

Итак, необходимо с помощью эксперимента, который будет проводиться при непол­ном знании или незнании механизмов явлений, научиться строить и анализировать математические модели, связывающие свойства материалов со всеми теми переменными, от которых эти свойства зависят.

Сразу же отметим, что поставленная проблема является задачей кибернетики. Действительно, если считать кибернетику наукой, изучающей системы любой природы, способные воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей оптимального управления, то такой кибернетической системой в данном случае является исследуемый материал, и эту систему можно представить в виде так называемого “черного ящика”. Она будет иметь входы (независимые переменные, факторы) х1, х2, ., xk (в нашем случае это состав, режимы литья, напыления, термической обработки, деформации) и выходы (зависимые переменные, отклики, параметры оптимизации, целевые функции) h1, h2, ., hq (свойства материала). Существенным является то обстоятельство, что каждому набору уровней входов отвечают определенные значения выходов. Другими словами, сплав, порошковый материал или покрытие фиксированного состава, полученные и обработанные по определенной схеме и режимам, имеют некоторый комплекс свойств. Сплав другого состава, обработанный по другим режимам, имеет и другие свойства. Точно ответить на вопрос, почему при изменении состава и режимов обработок изменились свойства сплава, нельзя (механизм явления либо плохо, либо совсем не известен), но важен лишь сам факт изменения свойств. Если теперь предположить, что между выходами и входами системы существует определенная связь (а она, без сомнения, существует), задача сводится к постановке минимально возможного числа экспериментов (выбору некоторого числа наборов уровней входов), фиксации выходов, а затем к построению и анализу математических моделей, связывающих выходы с входами.

Таким образом, нужно получить некоторое представление о так называемых функциях отклика:

Вид функций j исследователю заранее неизвестен. Поэтому, получая в опытах выборочные оценки выходов y, он вынужден строить приближенные уравнения функций отклика:

Эти уравнения в многомерном пространстве факторов называются факторным пространством. Они имеют некоторый геометрический образ – поверхность отклика. Следовательно, задача сводится к получению представления о поверхности отклика. Если задача экстремальная, надо найти экстремум (минимум или максимум) этой поверхности или сделать вывод, что экстремума нет. Если решается задача описания, необходимо попытаться выявить причины именно такого характера поверхности.

Свойства материалов, как и вообще любых других систем, можно описывать различными математическими моделями. Наибольшее применение нашли модели в виде алгебраических полиномов. Обычно используют разложение неизвестной функции отклика в ряд Тейлора в окрестности любой точки из области ее определения в факторном пространстве:

где ; ; .

Этот степенной ряд в общем случае бесконечен, но на практике ограничиваются конечным числом его членов, аппроксимируя тем самым неизвестную функцию j (х1, х2, ., хk) полиномом некоторой степени. Подобная аппроксимация имеет смысл, если функция отвечает ряду требований. Важнейшим из них является требование непрерывности и достаточной «гладкости». Поскольку заранее неизвестно, насколько это требование выполняется, приходится делать допущения о том, что это так.

Модель строят по результатам экспериментов, т. е. определяют выборочные оценки коэффициентов b0, bi, bij, bii:

 Скачать реферат