Построение неполной квадратичной регрессионной модели по результатам полного факторного эксперимента

где у – выборочная оценка функции отклика h.

Эксперимент можно проводить по-разному. В случае, когда исследователь наблюдает за каким-то неуправляемым процессом, не вмешиваясь в него, или выбирает экспериментальные точки интуитивно, эксперимент считают пассивным. В частности, такая ситуация возникает почти всегда,

когда пользуются традиционными методами экспериментирования, изучая вначале влияние на свойства материала одной переменной при остальных постоянных, затем другой и т. д. Поскольку при этом немыслимо перебрать все возможные варианты, выполняют лишь часть опытов, причем обоснование выбранных вариантов почти никогда не бывает достаточно строгим. В этих случаях статистические методы применяют обычно после окончания экспериментов, когда данные уже получены. Здесь используют такие приемы, как подбор функций распределения, определение средних величин и мер рассеяния, анализ корреляций, регрессий и т. п.

Опыт показал, что указанный подход, особенно в задачах оптимизации, является неэффективным. Не останавливаясь на всех причинах этого обстоятельства, отметим лишь, что по результатам пассивного эксперимента можно, например, судить о наличии или отсутствии статистической связи между переменными, построить подходящие уравнения связи. Но этими уравне­ниями можно пользоваться только для интерполяции. Например, можно оценить в виде аналитического выражения, как изменяется прочность того или иного материала в зависимости от его состава и условий изготовления, но интерпретировать полученную модель, придавать какое-либо значение ее коэффициентам, использовать для целей оптимизации, как правило, нельзя. В настоящее время пассивный эксперимент достаточно широко используют в технологии металлов и материаловедении. Тем не менее, будущее, вероятно, не за ним, хотя в некоторых случаях и из пассивных наблюдений удается извлечь весьма ценную информацию.

Совсем иная картина наблюдается, когда исследователь начинает применять статистические методы на всех этапах исследования и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в процессе экспериментирования, при обработке результатов и после эксперимента, принимая решение о дальнейших действиях. Такой эксперимент называют активным, и он предполагает планирование эксперимента.

Под планированием эксперимента обычно понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:

- минимизировать общее число опытов;

- выбирать четкие, логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследования;

- использовать математический аппарат, формализующий многие действия экспериментатора;

- одновременно варьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;

- организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;

- получать математические модели, имеющие более широкую область практического применения, нежели модели, построенные по результатам пассивного эксперимента;

- рандомизировать условия опытов, т. е. многочисленные несущественные факторы превратить в случайные величины;

- оценивать элемент неопределенности, связанный с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, получаемые разными исследователями.

Для того чтобы лучше себе представить, как реализуются идеи активного эксперимента, рассмотрим схему одного из наиболее широко используемых в настоящее время методов планирова­ния эксперимента – метода крутого восхождения, предназначенного для решения экстремальных задач.

В этом методе, как и во многих других методах планирования эксперимента, задача решается поэтапно. На первом этапе, варьируя в каждом опыте сразу все факторы, исследователь ищет лишь направление движения к области экстремума. Для этого поверхность отклика изучают только на небольшом участке и строят для этого участка линейную модель:

.

Анализ полученного уравнения позволяет наметить направление движения из исходной точки, наиболее быстро приводящее к оптимизации выбранного параметра. В дальнейшем на каждом этапе в соответствии с результатами, полученными на предыдущих этапах, ставят небольшую серию опытов, результаты которых вместе с интуитивными решениями исследователя определяют следующий шаг. Эта процедура заканчивается в области экстремума. Здесь ставят несколько большую серию опытов, и поверхность отклика описывают нелинейными функциями.

Анализ нелинейного уравнения позволяет точно определить координаты экстремума или сделать вывод, что экстремума не существует, а также наметить последующий путь оптимизации.

Сравним классический металловедческий подход и метод крутого восхождения на следующем примере. Предположим, что требуется найти состав наиболее прочного сплава на основе никеля, варьируя в нем содержание алюминия (х1) и тантала (х2). Предположим далее, что зависимость прочности (у) от состава для данных сплавов имеет вид, показанный на рис. 1, чего исследователь, приступая к решению задачи, естественно, не знает.

По интуитивным соображениям или на основании данных других исследований эксперимент начинают со сплава, отвечающего составу точки S1. При традиционном экспериментировании исследователь начинает изменять в этом сплаве содержание одной из добавок при постоянном количестве другой, затем содержание другой при постоянном количестве первой. При таком подходе, начиная с точки S1, вообще можно не найти оптимальный состав сплава (точка S6), поскольку движение по прямой от точки S1 в любую сторону не приводит к существенному упрочнению сплава (см. рис. 1).

Если далее экспериментатор сумеет перейти к другой исходной точке S2, то, последовательно изменяя содержание алюминия и тантала, он найдет наиболее прочный сплав, однако этот путь будет достаточно длинным (S2-S3-S4-S5-S6).

Таким образом, традиционное экспериментирование, предполагающее поочередное изменение переменных, ведет к нерациональному расходованию времени и средств, тем более, что большая часть информации, полученная после подобной работы, часто вообще не представляет практического интереса, поскольку относится к области, далекой от оптимальных условий.

Та же задача методом крутого восхождения решается следующим образом. Вблизи точки S1, начиная от которой при обычном экспериментировании успех вообще мог быть не достигнут, ставят небольшую серию из четырех опытов (точки 1, 2, 3, 4 на рис. 1). Цель этих опытов – еще не поиск состава наиболее прочного сплава. Определение прочности первых четырех сплавов позволяет исследователю приближенно описать неизвестную поверхность отклика на небольшом участке вблизи точки S1, т. е. рассчитать коэффициенты регрессии уравнения:

 Скачать реферат