Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

Теорема 2.(Шаудера, принцип неподвижной точки)

Если U-замкнутое ограниченное выпуклое подмножество пространства Банаха X оператор вполне непрерывен, то Т имеет в U по крайней мере одну неподвижную точку.

Именно на теореме Шаудера основано доказательство теоремы о существовании и единственности решения.

Теорема

3.(существование и единственность решения системы (1).(2))

Пусть система (1),(2) такая что:

Тогда такая что на отрезке существует решение системы (1),(2), удовлетворяющее условию Липшица, и оно единственно.

Замечание. Для простоты возьмем , для других значений теорема доказывается аналогично, или сводится к этому случаю заменой переменных.

Доказательство: Проинтегрировав уравнение (1), увидим, что решение должно удовлетворять условию:

Обозначим

и будем искать решение в виде

Где

Определим оператор

,

Который действует из в себя, действительно, возьмем произвольный элемент

a) Проверим, удовлетворяет ли образ условию Липшица: возьмем

При

b)

При выполнено .

c) при по определению оператора.

Выполнение условий a,b,c означает что .

Для этого необходимо подобрать параметры так, чтоб одновременно выполнялись условия:

(3)

(4)

Покажем, что оператор Т осуществляет непрерывное отображение:

Возьмем последовательность такую что

Оценка выполнена на всем интервале, величина положительна и конечна, отсюда следует, что при |

также стремится к нулю, а значит оператор Т переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся, а значит он непрерывен.

Компактность оператора будем доказывать по теореме Арцела, так как образ оператора лежит в пространстве с соответствующей нормой.

1),

правая часть не зависит ни от t, ни от y, значит образ оператора – равномерно ограниченное семейство функций.

2)

Выбирая получаем что образ оператора есть равностепенно непрерывное семейство функций.

А значит, образ множества предкомпакт, а оператор Т вполне непрерывен.

Так как множество ограничено, выпукло и замкнуто, а оператор Т компактен и действует из этого множества в себя, то по теореме Шаудера существует по крайней мере одна неподвижная точка из этого множества.

, а это значит, что - решение системы (1),(2).

Единственность:

Предположим, что при выполнении условий теоремы x и y – решения системы (1),(2) на интервале .

При оба решении совпадают с начальными данными, а значит равны между собой. На интервале оценим модуль разности функций, являющимися решениями.

Эта оценка верна для произвольного t отсюда немедленно следует, что

,

Выбирая таким малым, чтоб было меньше 1, получаем что , а значит на . Последовательно строя интервалы длинной закончим доказательство теоремы.

4.Пример неединственности (Winston)

Для уравнения с начальными данными

для малых положительных t существует два различных решения:

Действительно, проверим, удовлетворяют ли эти функции уравнению:

Значит, система имеет два различных решения. Это происходит потому что при малых t аргумент оказывается в окрестности -1, а при этих значениях начальные данные недостаточно гладки, не выполнено условие Липшица.

 Скачать реферат