Численные методы

x=x0: φ(x0)=f(x0)=y0 a1x0+b1=y0

x=x1: φ(x1)=f(x1)=y1 a1x1+b1=y1

a2x1+b2=y1

x0 x1 x2

Получим систему:

а0x0+b1=y0 (решаем по отдельности каждую систему)

a2x1+b2=y1

a2x1+b2=y1

a2x2+b2=y2 (10.2)

anxn-1+bn=yn

anxn +b

n= yn

Таким образом, получена система из 2n уравнений для поиска 2n неизвестных. Причем, система (10.2) образована из n систем линейных уравнений для 2-х неизвестных, каждая из которых может решаться независимо от остальных.

Кусочно-линейная функция φ(x) вида (10.1) внутри интервала (хi-1;xi), непрерывна и дифференцируема, а в точках xi, непрерывна, но не дифференцируема (в этих точках к графику функции невозможно построить касательную).

Кусочно-квадратичная аппроксимация

Пусть f(x) задана таблично на [a;b], но n=2m (четно) a≤x0<x1<…<xn≤b

Чтобы функция приближала f(x) наложим ограничения φ(xi)=yi=f(xi), .

Общее число узлов 2n+1, если n-четное.

Для нахождения неизвестных коэффициентов ak,bk,ck необходимо построить 3m условий.

k=1

[x0;x2]

Обобщим, получим систему:

(10.4)

Для нахождения неизвестных имеем 3m условий. При каждом значении можем построить систему линейных уравнений для ak,bk,ck;

Решать ее можем независимо от остальных условий.

Кусочно- квадратичная φ(x) вида (10.3) внутри интервала (x2n-2-x2n), является непрерывной и дифференцируемой два раза, а в точках x2i

является непрерывной, но не дифференцируемой.

Определение Сплайна

Пусть на отрезке [a;b] задана некоторая система узлов a0≤x0< x1<…<xn≤b

Сплайном Sn(x) называется функция, которая определена на [a;b], l раз непрерывна и дифференцируема на нем, при этом на каждом из отрезков

[хк-1; хк], к = , представляет собой многочлен степени m.

Разность (m-1) называется дефектом Сплайна (показывает разность между степенью составляющих его многочленов и степенью гладкости общей функции).

Если сплайн построен по некоторой таблично заданной функции f(x) таким образом, что S(хi)= f(xi); xi , i= - узлы интерполяции, то сплайн называют интерполяционным. Узлы сплайна и узлы интерполяции функции могут не совпадать.

Очевидно, что функция (10.1) является интерполяционным сплайном степени 1, дефекта 1, а кусочно-квадратичная функция (10.3) является интерполяционным сплайном, степени 2, дефекта 2.

Интерполяционный сплайн степени 3, дефекта 1.

Дважды непрерывно – дифференцируемый – сплайн.

Пусть задана табличная функция на [a;b], причем a= χ0 ≤ χ1<…< χn=b (узлы сплайна совпадают с узлами интерполяции). Общий вид:

Условия:

1.) g(xi) = f(xi)=yi , i=

2.) g(x) = c2 (дважды дифференцируема) [a;b]

3.) – краевые условия

Для нахождения неизвестных коэффициентов введем функцию

gn(x) = ak(x-xk)3+ bk(x-xk)2+c1(x-xk)+dk, xÎ[ xk-1;xk]

1.) g1(x0) = y0 , g1(x1) = y1 , g2(x2) = y2 ,… gn(xn) = yn

2.) первое условие (сплайн интерполяционный)

3.)

Краевые условия:

Таким образом, для нахождения 4n неизвестных мы построим 4n условий.

Теорема(10.1). Интерполяционный сплайн вида (10.5) для функции f(x) единственен.

Теорема(10.2). Пусть g(x)- интерполяционный сплайн степени 3 дефекта 1, построенный для функции f(x) С4 на отрезке [a;b], тогда для найдется такая константа C>0, что:

|f(x)- g(x)|<C4, [a ;b],

= max(xk-xk-1), 1≤ k ≤ n

- максимальное расстояние между узлами интерполяции.

Линейный фильтр

Понятие линейного сплайна позволяет сформулировать подходы к построению линейных фильтров, предназначенных для устранения случайных ошибок в данных.

Обычно в ходе измерений на процесс фиксации данных оказывают влияние случайные помехи. Для того, чтобы уменьшить влияние этих помех на качество интерполяции осуществляют пересчет значений функции в узлах интерполяции по следующей формуле:

Квадратичный сплайн дефекта один

Узлы этого сплайна не совпадают с узлами интерполяции функции.

Пусть узлы интерполяции заданы на [a;b]

- узлы сплайна, f(xi)=yi

, ,

Для сплайна n+2 узлов

Квадратичный сплайн дефекта 1 имеет вид:

Условия:

1.)

2.) P(x) Î C'[a;b], первая непрерывная производная во всех точках [a;b]

3.) Краевые условия:

P''(a)=A; P''(b)=B;

A и B- константы и желательно разные;

 Скачать реферат