Новый метод решения кубического уравнения

Решением исходного уравнения будет X1 = 7, X2 = 2, X3 = 11.

Расчет закончен !

Пример 3 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 10x2 - 49x + 130 = 0

гдеa =1, b = - 10, c = - 49, d = 130

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-

594;D1 = - [4( -147 - 100)3+( 2000 + 4410 - 3510)2]/27= - [- 60276892+8410000]/27= 1920996

2. Определяем значение D2 = - 2( 3c - )

-→ D2 = - 2( - 147 - 100 ) = 494 = 12 + 32 + 222 = 22 + 72 + 212 = 72 + 112 + 182

Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант , т.к. 72 ∙ 112 182 = 1920996

-→ (2mn)11 = 7, (2mn)12 = - 7,

(2mn)21 = 11, (2mn)22 = - 11,

(2mn)31 = 18, (2mn)32 = - 18.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 20x - 49 = 7∙11 -> 3x2 - 20x - 126 = 0. Эти значения X не подходят!

3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)11( 2mn)22

-→ 3x2 - 20x - 49 =- 77 -→ 3x2 - 20x + 28 = 0.

-→ X1 = , X2= 2 – это один из корней исходного уравнения!

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 2, и кроме того, известны значения (2mn)11 ч (2mn)32. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)11 = 7 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 – 7 = 2 – 7 = - 5. Это второй корень!

4.2 Пусть (2mn)12 = - 7 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 +7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.

4.3 Пусть (2mn)21 = 11 = (X1 - X3) -→ X3 = X1 - 11= 2 - 11 = - 9. Это не корень.

4.4 Пусть (2mn)21 = -11 = (X1 - X3) -→ X3 = X1 + 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1 = 2, X2 = - 5, X3 = 13.

Расчет закончен !

Пример 4 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0

гдеa =1, b = - 6.85, c = 13.425, d = - 8.1

В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4( 40.275 – 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27

-→D1 = - [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500

2. Определяем значение D2 = - 2( 3c - )

-→ D2 = - 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950

В этом случае имеют место дробные значения для D1 и D2 . Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10k .

При этом значение степени k должно определяться

- для D2 числом знаков в мантиссе ( для данного примера k2 = 4 )

- для D1 = 3∙ (число знаков в мантиссе для D2 ). -→ k1 = 3∙ k2 ( для данного примера k1 = 12 ).

Для дальнейшего рассмотрения используем два числа

- D11 = 987539062500

- D21 = 132950.

3. Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел ( А,Б,Д), при которых выполняются равенства D21 = А2 + Б2 + Д2 и D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

Для нахождения значений чисел А,Б,Д можно использовать две методики

- найти все варианты представления числа D21 в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D21 = А2 + Б2 + Д2 и D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

- найти все варианты представления числа D11 в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D21 = А2 + Б2 + Д2 и D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

Вариант D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 следует считать более удобным.

Для рассматриваемого примера

D11 = 987539062500 = 2502 ∙ 2652 ∙ 152

D21 = 132950 = 2502 + 2652 + 152.

4. В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k1 и k2 . Совершая обратную операцию, получим

(2mn)11 = 2.5, (2mn)12 = - 2.5,

(2mn)21 = 2.65, (2mn)22 = - 2.65,

(2mn)31 = 0.15, (2mn)32 = - 0.15.

5. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

5.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 2∙(6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙(2.65) -> 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.

-→ X1= 4 – это один из корней исходного уравнения!

6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 4, и

кроме того, известны значения (2mn)11 ч (2mn)32. Этих данных достаточно для

определения двух остальных корней.

6.1 Пусть (2mn)11 = 2.5 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!

6.2 Пусть (2mn)12 = - 2.5 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.

6.3 Пусть (2mn)21 = 2.65 = (X1 - X3) -→ X3 = X1 – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1 = 4, X2 = 1.5, X3 = 1.35.

Расчет закончен !

Неприводимый случай формулы Кардана

Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.

Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.

Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня . Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ".

Пусть а = 1.

Решение

Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы

D1= - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

D2= - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32],

 Скачать реферат