Новый метод решения кубического уравнения

→ X1 = 4

→ g21 = - = - = 1

→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 2i → X2 = 1 + 2i , X3 = 1 - 2i

Сравните метод решения и результат с первоисточником.

[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев .Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]

Вывод новых формул

Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.

Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)

(2mn)2 + ( 3x + b )(2mn) + 3x2 + 2bx +с = 0

Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим

(2mn)2 + ( 3xi + b )(2mn) + 3xi2 + 2bxi +с = 0

→ (2mn)2 + ( 3x1 + b )(2mn) + 3x12 + 2bx1 +с = 0

→ (2mn)2 + ( 3x2 + b )(2mn) + 3x22 + 2bx2 +с = 0

→ (2mn)2 + ( 3x3 + b )(2mn) + 3x32 + 2bx3 +с = 0

Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2mn)Iобязательно найдется отрицательное значение (2mn)j. Поэтому общая сумма всех корней вида (2mn) будет равна нулю.

→ ( 3x1 + b ) + ( 3x2 + b ) + ( 3x3 + b ) = 0 → 3( x1 + x2 + x3 ) = - 3 b

→ ( x1 + x2 + x3 ) = - b.

Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.

Рассмотрим любых два уравнения, например,

→ (2mn)2 + ( 3x1 + b )(2mn) + 3x12 + 2bx1 +с = 0

(2mn)2 + ( 3x2 + b )(2mn) + 3x22 + 2bx2 +с = 0.

Здесь в качестве свободных членов имеем 3x12 + 2bx1 +с и 3x22 + 2bx2 +с. Их сумма равна

→ Σ = 3(x12 + 3x22) + 2b(x1 + x2 ) + 2 с. Расчеты показывают, что

3(x12 +x22) + 2b( x1 + x2 ) + 2 с = ( x1 - x2 )2

→ (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0

Тогда для трех корней исходного уравнения будем иметь

→ (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0

→ (x1 + x3)2 + b( x1 + x3 ) + с - x1∙ x3 = 0

→ (x2 + x3)2 + b( x2 + x3 ) + с - x2∙ x3 = 0

Это новые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!

В общем случае эта формула имеет вид

( xi + xj)2 + b( xi + xj ) + с - xi∙ xj= 0 ( 10 )

Пример 11 Проверить формулу ( 10 )

x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0

где a =1, b = - 20, c =113, d = -154

Здесь X1 = 7, X2 = 2, X3 = 11.

→ (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0 → (7 + 2)2 - 20( 7 + 2 ) + 113 - 7∙ 2 = 0

→ (x1 + x3)2 + b( x1 + x3 ) + с - x1∙ x3 = 0 → (7 + 11)2 - 20( 7 + 11 ) + 113 - 7∙ 11 = 0

→ (x2 + x3)2 + b( x2 + x3 ) + с - x2∙ x3 = 0 → (2 + 11)2 - 20( 2 + 11 ) + 113 - 2∙ 11 = 0

Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).

Три действительных корня и два одинаковых

При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2mn) = 0.

Тогда из уравнения (2) следует 3x12 + 2bx1 +с = 0. Подставив значения коэффициентов b и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.

Пример 12 Пусть имеемв качестве исходногоуравнение x3 – 25x2 + 203x – 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.

Решение Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3x12 + 2bx1 +с = 0 → 3x12 - 50x1 + 203 = 0 → x1,2 = ) → x1 = , x2 = 7.

Подставив значение x = 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является

 Скачать реферат