Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Ответ: OB = 10,625

3.4 Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник

Задача 7: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.

Дано: ромб, радиус вписанной окружности – R, BD r в 4 раза

Найти:

Решение:

1. Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R

2.

3.

4.

Ответ:

Задача 8: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10

Найти:

Решение:

1. AB = CD = 10 по условию

2. AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности

3. AD + BC = 10 + 10 = 20

4. FE = 2r = 2 · 4 = 8

5.

Ответ:

Задача 9: внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.

Решение:

1. Пусть AB = BC = AC = a.

2. Обозначим O1E = O1K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r = .

3. AO1 – биссектриса угла A, следовательно, ﮮ O1AE = 30˚ и в прямоугольном ∆AO1E имеем AO1 = 2O1E = 2r и AE ===. Тогда AE + r = == , откуда .

4.

Ответ:

Задача 10: вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.

Решение:

1. Пусть ﮮAOB = 2x, ﮮBOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ﮮAOB = 60°, ﮮBOC = 30°

2.

3.

4.

Ответ:

Задача 11: стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите го высоту, проведенную из вершины большего угла.

Решение:

1. 202 = 122 + 162

400 = 144 + 256

400 = 400 верно, следовательно, ∆ АВС – прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора)

2.

3.

96 = 10 · ВН

ВН = 9,6

Ответ: ВН = 9,6

Задача 12: в прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.

Дано: ∆ ABC – прямоугольный, AC = 15, CB = 10

Найти:

Решение:

1. ∆ ADE ~ ∆ ACB (ﮮ A – общий, ﮮ ADE = ﮮ ACB = 90°)

2. Пусть DE = DC = X, тогда AD = 15 – X

3.

15 · X = 10(15 – X)

15 · X = 150 – 10 · X

25 · X = 150

X = 6

DE = DC = 6

4. S кв. = 6 · 6 = 36

Ответ: S кв. = 36

Задача 13: основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны – 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

1. HK = BC = 10 м

2. Пусть BH = CK = x, AH=y, тогда KD = 21 – y

3. По теореме Пифагора:

x2 + y2 = 132

x2 + (21 – y)2 = 202

x2 + y2 = 169

x2 + 441 – 42y + y2 = 400

441 – 42y = 231

42y = 210

y = 5

AH = 5 м

4. По теореме Пифагора:

BH2 = AB2 – AH2

BH2 = 132 – 52

BH2 = 169 – 25

BH2 = 144

BH = 12

Ответ: BH = 12

4. Заключение

В процессе работы я расширил знания по теме «Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках», научился решать задачи, казавшиеся ранее недоступными, систематизировал знания по этой теме, и закрепил методы решения этих задач на практике.

Так как геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы, то в дальнейшем мне будет намного легче справиться с ними на ЕГЭ.

Список литературы:

1. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»

 Скачать реферат