Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Дано: ∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚,

площадь ∆ BOC равна 16

Найти: радиус описанной окружности

Решение:

1. Проведем медианы AF, CE, BH

2. ∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный

3. ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ =

15˚

4. BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚

5. ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚

6. S = ∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника), SBOC = ∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ = ∙ R ∙ R ∙ = ∙ R2 ; ∙ R2 = 16; R2 = 16 : = 64; R = = 8

Ответ: R = 8

Задача 2: треугольник BMP с углом B, равным 45˚, вписан в окружность радиуса 6. Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.

Решение:

1. ﮮ MOP = 2 ﮮMBP

ﮮ MOP = 2 ∙ 45˚ = 90˚, следовательно, ∆ MOP – прямоугольный

2. MP2 = OM2 + OP2

MP2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 36 ∙ 2

MP =

3. MK = KP = 0,5 ∙ MP

MK = KP = 0,5 ∙ =

4. MK ∙ KP = BK ∙ KC

= BK ∙ 3

BK ∙ 3 = 9 ∙ 2

BK ∙ 3 = 18

BK = 6

Ответ: BK = 6

Задача 3: остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром O и радиусом 10. Найдите площадь треугольника BOC.

Решение:

1. ∆ BCD – равнобедренный, CD = 16, следовательно, DH = HC = 8

2. ∆ DOH – прямоугольный

По теореме Пифагора:

OH2 = 102 – 82

OH2 = 100 – 64 = 36

OH = 6

3. BH = BO + OH = 10 + 6 =16

4. По теореме Пифагора:

BC2 = 162 + 82 = 256 + 64 = 320

BC =

5. ∆ KBO ~ ∆ HBC

6. SBHC =

7.

SBOK = 20

8. SBOC = 2 ∙ SBOK = 2 ∙ 20 = 40

Ответ: SBOC = 40

3.2 Задачи с окружностью, вписанной в треугольник

Задача 4: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.

Решение:

1. AC = 2r = 10 м

2. Пусть AM = AK = x, MC = CL = y

По теореме Пифагора:

x + y = 10

(x + 2)2 + (y + 2)2 = (x + y)2

y = 10 – x

(x + 2)2 + (10 – x + 2)2 = (x + 10 – x)2

(x + 2)2 + (12 – x)2 = 100

x2 + 4x + 4 +144 – 24x + x2 = 100

2x2 – 20x + 148 = 100

2x2 – 20x + 48 = 0

x2 – 10x + 24 = 0

x1 = 6, x2 = 4

y = 10 – x

x = 6 x = 4

y = 4 y = 6

3. Так как нужно найти больший катет, то берем y = 6

BC = 2 + 6 = 8 м

Ответ: BС = 8 м

Задача 5: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.

Дано: ∆ BCD – равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10

Найти: KA

Решение:

1. CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25

2. CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15

3. BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30

4. ∆ CKA ~ ∆ CBD (ﮮC – общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 ∙ 30 : 25 = 12

Ответ: KA = 12

1. BC = x + y

BC = 18 + 12 = 30 (м)

Ответ: 30 м – диаметр описанной окружности

3.3. Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника

Задача 6: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота – 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

Решение:

1. Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.

2. АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 – х.

3. АО2 = АК2 + КО2; ОВ2 = ВН2 + НО2;

так как ОА2=ОВ2, получим:

АК2 + КО2 = ВН2 + НО2

90 + 64 – 16x = 0

16x = 154

ОВ2 = ВН2 + НО2

 Скачать реферат