Операторы проектирования

Примеры гильбертовых пространств.

1) l- комплексное гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определяется формулой (x, y) = ;

2) L(0,1) - гильбертово пространство, в которо

м скалярное произведение определено формулой

(f, g) = dx.

Теорема3:

М – замкнутое подпространство гильбертова пространства Н, следовательно H можно представить в виде прямой суммы M и М (Н=МÅМ, М- ортогональное дополнение к М).

Доказательство:

Если Е подмножество Н, то из линейности скалярного произведения (x,y) по x следует, что Еявляется подпространством в Н. Допустим, что элементы gпринадлежат Еи сходятся к g. Тогда для любого f из E

(g, f) = = 0, и потому g тоже входит в Е, значит Е- замкнутое подпространство.

(1) Если х принадлежит М и х принадлежит М, то (х, х) = 0, а это будет тогда и только тогда, когда х = 0, следовательно МÇМ={0}.

(2) Пусть х принадлежит Н.

Рассмотрим множество х-М = {х-х: хÎМ}, причем хтакой, что он минимизирует величину . Пусть х= х-х, следовательно, £для любых y из М, значит, хпринадлежит М, поэтому для любого х из Н х можно представить в виде х = х+х, где хиз М и хиз М.

Из (1) и (2) следует, что Н представимо в виде прямой суммы М и М Н=МÅМ, следовательно любое подмножество в гильбертовом пространстве дополняемо.

Примеры дополняемых подпространств в гильбертовом пространстве.

1) в lрассмотрим элементы x = (x, …,x, …), у которых x= 0 при четных n и xпроизвольные при n нечетных. Эти элементы образуют в lзамкнутое подпространство. Назовем его X.

Рассмотрим также элементы y = (y, …, y, …), у которых yпроизвольные при четных n, и y= 0 при нечетных n. Эти элементы образуют замкнутое подпространство в l, и при этом это подпространство является ортогональным дополнением к X, так как их скалярное произведение равно 0. Следовательно, по Т3. X дополняемо в H с помощью X.

2) L(0,1).

Пусть X – подпространство L(0,1), состоящее из тех функций L(0,1), которые обращаются в 0 на интервале (0, а].

Пусть Y – подпространство L(0,1), состоящее из тех функций L(0,1), которые в ноль не обращаются на интервале [a, 1).

Тогда Y является ортогональным дополнением X, так как их скалярное произведение равно 0, а значит X дополняемо в L(0,1) с помощью Y.

Часть III. Задача о дополняемости.

Пусть С[0, 2p] - множество непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0, 2p].

Пусть Е – множество четных чисел и пусть

С= {f(x)Î С: (n) = 0 "nÏE}.

Требуется доказать, что Сдополняемо в С[0, 2p].

Доказательство:

Чтобы доказать требуемое, необходимо найти такой непрерывный проектор, который бы отображал множество С[0, 2p] на С(Т1.), таким образом, чтобы коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах, отображались бы в 0, а на четных оставались бы без изменения.

Рассмотрим оператор P = (t+I), где t- оператор сдвига на p, а I - тождественное отображение.

tограничен, так как мы имеем дело с 2p периодическими функциями, так как

 Скачать реферат