Операторы проектирования

Произведем замену: x+s = t Þ x = t-s. Тогда

()(n)=ed(t-s) =

= e

edt=eedt=e (n),

то есть (tf)(n)= e (n). (3).

Так как e ÎG, то t(H) = Hдля любого вещественного s.

Если бы подпространство Hбыло дополняемо в L, то из Т2. следовало бы существование такого непрерывного проектора Q пространства Lна H, что tQ = Qtдля любого вещественного s. (4).

Найдем вид проектора. Положим e(x)=e . Тогда te=ee, а так как оператор Q линеен, то

Qte= eQe. (5).

Из (4) и (5) следует, что

(Qe)(x-s) = e (Qe)(x). (6).

Пусть С= (Qe)(0). При Q = 0 соотношение (6) имеет вид

Qe= Ce. (7).

Воспользуемся тем, что образом оператора Q служит подпространство Н. Так как Qe принадлежит Hдля любого n, то из (7) следует, что

С= 0 для любого n<0. Так как Qf = f для любого f из H, то С= 1 при любом n³0.

Таким образом, проектор Q должен являться «естественным», то есть его действие сводится к замене нулями всех коэффициентов Фурье с отрицательными номерами:

Q(e)=e. (8).

Рассмотрим функцию f(x) = e, (0<r<1), (9).

которая представляет собой ядро Пуассона: , в частности f>0. Поэтому

= dx = dx = 1 для любого r. (10) Но (Qf)(x) = e= (11).

Так как dx = ¥, то из леммы Фату следует, что ® ¥, при

r ® 1. В силу (10) это противоречит непрерывности оператора Q.

Таким образом, доказано, что Hнедополняемо в L.

Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах.

Гильбертово пространство.

Комплексное векторное пространство Н называется пространством с внутренним произведением (унитарное пространство), если каждой упорядоченной паре векторов x,y из Н сопоставлено комплексное число (x,y), называемое скалярным и:

а) (y,x)=, "x, yÎH;

b) (x+y,z)=(x+z)+(y+z), "x, y, zÎH;

c) (ax,y)=a(x,y), "x, yÎH, "aÎC;

d) (x,x)³0, "xÎH;

e) (x,x)=0 Û x=0, "xÎH;

Если (x,y) = 0, то говорят, что x ортогонален y (обозначение x^y).

Если Е подмножество Н, F подмножество H, то Е^F обозначает, что (x,y) = 0 для любых x из E и любых y из F.

Через Еобозначаются все y из H, ортогональные каждому из векторов x из E.

Нормой в пространстве Н называется число .

Если полученное нормированное пространство является полным, то оно называется гильбертовым пространством.

 Скачать реферат