Теория остатков

M s M s b s M s M s b' s

на число M s M s , взаимно простое с модулем, получим, что b s b' s (mod m s ) , т.е. b s =b' s для каждого s .

Итак, x 0 пробегает m 1 m 2 .m k различных значений, попарно не сравнимых по модулю m 1 m 2 .m k , т.е. полную систему вычетов.

Формулировка для колец

Пусть rder=0 width=80 height=20 src="images/referats/3086/image138.png" alt="A, (B_i)_{i \in I}">- коммутативные ассоциативные кольца с единицей, сюрьективные гомоморфизмы, обладающие свойством для всех . Тогда гомоморфизм , заданный формулой

является сюрьективным. Более того, Φ опеределяет изоморфизм

.

Если положить , и определить гомоморфизмы следующим образом

то мы получим арифметическую версию теоремы.

Также часто встречается следующая эквивалентная формулировка для колец, где Bi имеют форму A / Ii, φi являются естественными проекциями на A / Ii и требуется, чтобы Ii + Ij = A для любых .

Заключение

История арифметики остатков начинается с исследований К.Ф. Гаусса, который впервые стал рассматривать сравнения. В дальнейшем была обнаружена связь теории сравнений с астрономическими задачами (китайская теорема об остатках). В результате многочисленных исследований теория остатков была распространена на кольца произвольной природы. В последнее время обнаружилось приложение этой теории в криптографии. В дипломной работе изложена теория остатков на современном алгебраическом языке.

Список использованных источников

1. С. Ленг, Алгебра, М., 1968

2. С. Коунтинхо, Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA, М. 2001

3. А.И. Кострикин, Введение в алгебру, М., 2000

4. О. Зарисский, Коммутативная алгебра, т.1., М., 1963

 Скачать реферат