Алгоритм решения Диофантовых уравнений

Преобразования без комментариев.

(5)

В уравнении (4)

Тогда ,

Значения и подставим в формулу (5)

И сразу пишу систему решений

Итого: иррациональными решениями уравнения

являются две системы уравнений (3) и (6).

Отрицательные значения радикалов не рассматриваю.

Поиск Пифагоровых троек

(1)

Пусть Х – нечётное число, У – чётное число, Z – нечётное число

и Х > У > Z.

,

уравнение представлено в виде , и далее оно расписано в виде произведения (2)

Можно составить три системы уравнений:

И по порядку начинаем рассматривать все три варианта.

Заранее составим заготовку для их решения.

Откуда следует

(3)

Произведя подстановку соотношений (3) и с учётом уравнений (2) получим систему из трёх уравнений с тремя же неизвестными.

После соответствующих преобразований будет

Перед радикалом убран знак «минус» ибо комплексные решения не интересуют.

Простой перебор значений m даёт следующие результаты:

- при m=2 , тогда

- при m=7 , тогда

б) Система (б) после сокращений примет вид

После подстановок (3) и с учётом уравнения (2) получим систему уравнений:

откуда

При m≥1, Z =1, 3, 5, 7, 9, 11…. т.е. все нечётные числа, хотя единицу надо убрать, ибо она не удовлетворяет условию системы (4).

Из (Х-У)(Х+У)=Z2 получаем, систему уравнений

(4)

Решая данную систему, получаем ряд значений Пифагоровых троек.

 Скачать реферат