Кривые на плоскости

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r.

· Циклоида описывается параметрически:

x = rt − rsint,

y = r − rcost.

· Уравнение в декартовой прямоугольной системе координат:

Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

Астроида

Астроида — плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем m = 4.

Так же можно сказать, что Астроида- это плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Принадлежит к гипоциклоидам. Является алгебраической кривой шестого порядка.

Свойства

1. Имеются четыре каспа.

2. Длина дуги от точки с 0 до

3.

4. Длина всей кривой 6R.

5. Радиус кривизны:

6.

7. Площадь, ограниченная кривой:

8.

9. Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.

10. Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.

Уравнения

· Уравнение в декартовой прямоугольной системе координат:

· параметрическое уравнение:

Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли — плоская кривая, геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Так же можно сказать, что Лемниската Бернулли- это плоская кривая, имеющая вид «восьмерки»; множество точек М, произведение расстояний r1 и r2 которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния. Алгебраическая кривая 4-го порядка, рассмотренная Я. Бернулли (1964 г).

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

· в прямоугольной декартовой системе координат:

Фокусы лемнискаты — F1( − c;0) и F2(c;0). Возьмём произвольную точку M(x;y). Произведение расстояний от фокусов до точки M есть

,

и по определению оно равно c2:

Возводим в квадрат обе части равенства:

Раскрываем скобки в левой части:

Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:

Выносим общий множитель и переносим:

Далее можно сделать замену a2 = 2c2, хотя это не обязательно:

В данном случае a — радиус окружности, описывающей лемнискату.

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

Приводим к виду

Это квадратное уравнение относительно y2. Решив его, получим

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.

· в полярной системе координат:

Используя формулы перехода к полярной системе координат получим:

Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1:

Используем ещё одно тождество: cos2α − sin2α = cos2α:

Делим на ρ2, предполагая, что :

\

Как и в случае прямоугольной системы можно заменить a2 = 2c2:

 Скачать реферат