Математизация науки и ее возможности

В связи с этим интересно наблюдать, каким образом математики все-таки решают сложные проблемы. Анри Пуанкаре в [5] пишет: “Изучая труды великих и даже рядовых математиков, невозможно не заметить и не различить две противоположные тенденции …. Одни прежде всего заняты логикой; читая их работы, хочется думать, что они шли вперед лишь шаг за шагом …. Другие вверяют себя интуиции и подобно смелым к

авалеристам авангарда сразу делают быстрые завоевания, впрочем, иногда не совсем надежные.” Таким образом, зачастую успех в решении крупной проблемы достигается не путём последовательных логических шагов, а некоторым интуитивно-наглядным, до конца не обоснованным рассмотрением, оставляя на будущее строгое логическое его обоснование. Интересны также мысли многих математиков относительно эстетических соображений в своей работе. Герман Вейль говорил, что в своих исследованиях, “если надо было выбирать между истиной и красотой, я выбирал красоту”. Возможно, эстетические ощущения, как ощущения скрытой истины или гармонии, помогают математикам при решении сложных задач. Это, можно сказать – одно из средств борьбы со всё усложняющейся математической действительностью.

Проблемы второго типа, связанные с трудностью построения нужных математических моделей можно проиллюстрировать на примере задачи компьютерного перевода с одного естественного языка на другой. В начале 1950-х, с появлением первых ЭВМ и с преувеличением их реальных возможностей, исследователи были уверены, что создание достаточно хороших программ-переводчиков возможно, надо лишь запрограммировать основные правила языка и соответстующий словарь. Но, время шло, а осуществить этот проект не удавалось. Например, на тестировании одной из таких программ, машине предлагалось сначала перевести предложение с русского на английский, а затем обратно. Было введено предложение: “Дух силен, а плоть немощна”, на выходе получили: “Вино хорошее, но мясо протухло”. Оказалось, что человеческие языки очень сложны для формализации: смысл некоторых слов зависит от контекста, правила зачастую неоднозначны, этих правил очень много и они сложны. До сих пор нет удовлетворительных программ-переводчиков.

Трудность применения математических методов в данном случае, как мне кажется, связана с природой самой исследуемой области. А именно тем, что основные математические абстракции произошли от таких объектов реальности, как пространство, время, природные объекты, а не от каких-то явлений социальной действительности (к которым относится и язык). Поэтому они полезны и достаточно просто описывают физические, химические и биологические процессы, но соответствующие модели, например, языка получаются очень сложными. Можно еще добавить следующее замечание: правила языка, в отличие от законов природы довольно часто (непрерывно) меняются, поэтому математика, “отделившаяся” от природы при помощи абстракции 1000 лет назад, продолжает сохранять некоторые законы природы в себе, а если бы это “отделение” произошло от языка, который с тех пор изменился значительно, многие полезные связи разрушились бы, или усложнились.

Другие проблемы второго типа связаны с тем, что построенная в соответствии с обычной методологией математическая модель может неправильно описывать процесс или вообще не иметь смысла в исследуемой области. Согласно [7] такие модели содержат неконструктивные элементы, что может привести к противоречиям в теории и рассогласованию с опытом даже перспективных математических аппаратов. В современной физике теория создается не так, как это было в классической физике, когда исходя из некоторой картины мира (например, независимость материальных объектов от пространства и времени у Ньютона), строилась соответствующая математическая гипотеза. Сейчас же, согласно [7], сначала формируется математический аппарат, а затем уже адекватная теоретическая схема, интерпретирующая этот аппарат. В отличие от онтологических принципов классической физики, которые помогали создавать или выбирать математические модели исследования, квантово-релятивистская физика сместила акценты для такого выбора в сторону гносеологических принципов (принцип соответствия, простоты, неопределенности и др.). То что сначала вводится некоторая математическая модель, а затем интерпретируется, создает проблему с экспериментальным подтверждением теории: чтобы обосновать математическую гипотезу опытом, недостаточно просто сравнивать следствия из уравнений с опытными данными, необходимо каждый раз эксплицировать гипотетические модели, которые были введены на стадии математической экстраполяции, отделяя их от уравнений, обосновывать эти модели конструктивно, вновь сверять с созданным математическим формализмом и только после этого проверять следствия из уравнений опытом. Длинная серия математических гипотез порождает опасность накопления в теории неконструктивных элементов и утраты эмпирического смысла величин, фигурирующих в уравнениях. Поэтому в современной физике на определенном этапе развития теории становятся необходимыми промежуточные интерпретации, обеспечивающие операциональный контроль за создаваемой теоретической конструкцией. В системе таких промежуточных интерпретаций как раз и создается конструктивнообоснованная теоретическая схема, обеспечивающая адекватную семантику аппарата и его связь с опытом.

В [7] приводится пример такого накопления. Квантовая электродинамика началась с построения формализма, позволяющего описать "микроструктуру" электромагнитных взаимодействий. Создание указанного формализма довольно отчетливо расчленяется на четыре этапа. Вначале был введен аппарат квантованного электромагнитного поля излучения (поле, не взаимодействующее с источником). Затем на втором этапе, была построена математическая теория квантованного электронно-позитронного поля (было осуществлено квантование источников поля). На третьем этапе было описано взаимодействие указанных полей в рамках теории возмущений в первом приближении. Наконец, на заключительном, четвертом этапе был создан аппарат, характеризующий взаимодействие квантованных электромагнитного и электронно-позитронного полей с учетом последующих приближений теории возмущений (этот аппарат был связан с методом перенормировок, позволяющим осуществить описание взаимодействующих полей в высших порядках теории возмущений).

В период, когда уже был пройден первый и второй этапы построения математического формализма теории и начал успешно создаваться аппарат, описывающий взаимодействие свободных квантованных полей методами теории возмущений, в самом фундаменте квантовой электродинамики были обнаружены парадоксы, которые поставили под сомнение ценность построенного математического аппарата. Это были так называемые парадоксы измеримости полей. В работах П. Иордана, В. А. Фока и особенно в совместном исследовании Л. Д. Ландау и Р. Пайерлса было показано, что основные величины, которые фигурировали в аппарате новой теории, в частности, компоненты электрической и магнитной напряженности в точке, не имеют физического смысла. Поля в точке перестают быть эмпирически оправданными объектами, как только исследователь начинает учитывать квантовые эффекты.

 Скачать реферат