Математизация науки и ее возможности

Основные методы математизации

Тот, кто не знает математики, не

может узнать никакой другой науки

и даже не может обнаружить своего

невежества.

Р.Бэкон

В чем же заключается мощь и удивительная плодотворность применения математики в различных науках? Чтобы ответить на этот вопрос, проанализируем некоторые методы математизации.

Важнейший метод – это математиче

ское моделирование. Он состоит в том, что исследователь строит математическую модель рассматриваемой области, то есть выделяет существенные для него свойства и количественные характеристики явления, выделяет существенные отношения между ними и пытается найти какой-либо похожий объект в математике.

Например, изучая численности популяций сардин и рыб-хищников в Средиземном море, В.Вольтерра выделил следующие количественные характеристики:

· численность сардин (обозначив их за x)

· численность хищников (соответственно y)

далее он выявил важные для него отношения между ними:

· в среднем все особи одинаковы

· популяция сардин увеличивается, если нет встреч с хищником

· скорость роста ее численности пропорциональна самой численности (так как каждая особь может произвести потомство)

· число сардин, гибнущих от хищников пропорционально числу встреч с ними, а это число в среднем пропорционально xy

· популяция хищников уменьшается при отсутствии сардин (гибнут от голода)

· скорость этой убыли пропорциональна численности хищников

· скорость прироста числа хищников пропорциональна числу их встреч с кормом-сардинами, то есть величине xy.

Являясь крупным специалистом в теории дифференциальных уравнений, Вольтерра рассматривает x и y как фунции от времени и быстро находит необходимый объект в математике – систему обыкновенных дифференциальных уравнений

где A, B, C, D – некоторые положительные коэффициенты, зависящие от конкретных природных условий. Изучая затем эту систему методами, разработанными другими математиками задолго до него, Вольтерра получает описание и объяснение многих явлений, замеченных за долгую историю рыболовства в Италии, таких например, как странные колебания величины улова сардин (а значит и их общей численности).

Этот пример показывает еще одну идею моделирования – некоторое упрощение, отбрасывание лишней, не нужной информации. Здесь, это допущения одинаковости особей, равновероятности их встреч, равновозможности производить потомство. Мы как-будто бы абстрагируемся от конкретной сардины и выделяем только нужные для нас ее свойства. Конечно в итоге, мы получаем несколько упрощенную картину явления, но в данном случае нам это и требовалось. Важнейшим моментом является то, чтобы при упрощении не упустить нужные нам черты, не огрубить модель настолько, чтобы она перестала достаточно хорошо для нас описывать явление. С другой стороны, модель не должна получиться очень сложной, не поддающейся математическому анализу. Правда, с появлением мощных ЭВМ, возможности анализа заметно расширились, но некоторые задачи, например долгосрочное прогнозирование погоды, до сих пор являются недоступными.

Удивительным образом оказывается, что одна и та же математическая модель может описывать много разнообразных явлений в различных областях. Например, одно дифференциальное уравнение может описывать и рост численности популяции, и химический распад, и цепную ядерную реакцию, и распростронение информации в социальной группе. В чем причина такой всеприминимости математических моделей? Ответа на этот вопрос математика не дает. Вот что говорит академик В.И.Арнольд в лекции [2]:

Почему модель сечения конуса описывает движение планет? Мистика. Загадка. Ответа на этот вопрос нет. Мы верим в силу рациональной науки. Ньютон видел в этом доказательство существования Бога:”Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого существа…Сей управляет всем не как душа мира, а как властитель Вселенной, и по господству своему должен именоваться Господь Бог Вседержитель”.

Но можно дать и следующее некоторое “обоснование” этому факту. Когда исследователь изучает какое-то явление и строит скажем количественную модель, он стремится к простоте модели и выделяет только небольшое число параметров и отношений между ними. В итоге, по огромному количеству явлений получаем модели, связанные скажем с определенными дифференциальными уравнениями. Но в теории дифференциальных уравнений эти уравнения классифицированы в достоточно небольшое число типов, которые различаются по свойствам и методам их решения. В итоге и получается, что дифференциальные уравнения (а значит и модели) для большого числа явлений попадают в один класс, в котором они практически неразличимы.

Помимо моделей, связанных с дифференциальными уравнениями, есть еще огромное число других моделей, в том числе и не количественных (то есть не связанных с какими-либо числовыми параметрами). Например, в математической логике и теории алгоритмов существует модель, описывающая работу человека, решающего какую-нибудь проблему по строго описанной программе (рецепту). Эта модель называется машиной Тьюринга и придумана в 1936 году английским математиком Аланом Тьюрингом в связи с проблемой формализации понятия алгоритма. Она оказалась очень полезной для разработки первых ЭВМ, и с тех пор является общепринятой математической моделью современных компьютеров.

Тьюринг исходил из следующих упрощений:

· в процессе работы, человек (компьютер) имеет дело с наборами символов (словами) из конечного множества (алфавита)

· в начале работы на некотором носителе информации, например в тетради (ленте) записан вход

· в конце работы, на ленте пишется выход

· лента разделена на ячейки, каждая либо пуста, либо там есть один символ алфавита

· лента потенциально бесконечна и одномерна (то есть каждая ячейка имеет двух соседей: правого и левого)

· в процессе работы человек может за один шаг записывать символ в текущую ячейку (если она занята, то предварительно стереть содержимое) и читать его, а также сдвигаться вправо или влево

· все вышеописанные действия он выполняет в строгом соответствии с программой, которая по текущему обозреваемому символу и текущему состоянию человека (их конечное число) говорит, какой символ записать в ячейку, куда сдвинуться (вправо или влево) и как сменить состояние

· человек останавливает вычисления, когда попадает в некоторое выделенное состояние (заключительное)

Откуда такая модель могла возникнуть? Например из анализа работы математика, который что-то решает в тетради: на первых страницах записано условие задачи – слово в достаточно большом (но конечном!) алфавите; далее он согласно некоторым правилам своей науки (программе!) и своему внутреннему состоянию (этих состояний много, но конечно), листая тетрадь то вперед, то назад, записывая и стирая символы, постепенно решает задачу. Попав в заключительное состояние (поняв, что ответ найден), он останавливается. Есть и возможность того, что он никогда не остановится – модель это не запрещает.

 Скачать реферат