Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин

,

где Отсюда следует, что Также

Нормальные случайные величины очень часто встречаются при исследовании самых различных по своей

природе вопросов.

Выбрав , , найдём . Следовательно,

(1.6)

Вероятность настолько близка к 1, что иногда последнюю формулу интерпретируют так: при одном испытании практически невозможно получить значение , отличающееся от больше чем на .

Проводя большое количество опытов, и получая большое количество случайных величин можно воспользоваться центральной предельной теоремой теории вероятностей. Эта теорема впервые была сформулирована П. Лапласом. Обобщением этой теоремы занимались многие выдающиеся математики, в том числе П.Л. Чебышёв, А.А. Марков, А.М. Ляпунов. Её доказательство достаточно сложно.

Рассмотрим одинаковых независимых случайных величин , так что распределения вероятностей этих величин совпадают. Следовательно, их математические ожидания и дисперсии также совпадают. Величины эти могут быть как непрерывными, так и дискретными.

Обозначим

Сумму всех этих величин обозначим через

Используя соотношения

получаем

Рассмотрим теперь нормальную случайную величину с такими же параметрами: .

В центральной предельной теореме утверждается, что для любого интервала при больших

Смысл этой теоремы в том, что сумма большого числа одинаковых случайных величин приближенно нормальна. На самом деле эта теорема справедлива при гораздо более широких условиях: все слагаемые не обязаны быть одинаковыми и независимыми; существенно только, чтобы отдельные слагаемые не играли большой роли в сумме. Эта теорема оправдывает часто встречающиеся нормальные случайные величины. В самом деле, когда встречается суммарное воздействие большого числа незначительных случайных факторов, результирующая случайная величина оказывается нормальной.

Используя эти данные из теории вероятностей можно перейти к описанию общей схемы метода Монте-Карло. Допустим, что требуется вычислить какую-то неизвестную величину . Попытаемся придумать такую случайную величину , чтобы . Пусть при этом .

Рассмотрим независимых случайных величин распределения которых совпадают с распределением . Если достаточно велико, то, согласно центральной предельной теореме, распределение суммы будет приблизительно нормальным с параметрами . Из (1.6) следует, что .

Последнее соотношение перепишем в виде:

(1.7)

Это соотношение даёт и метод расчёта , и оценку погрешности.

В самом деле, найдём значений случайной величины . Из (1.7) видно, что среднеарифметическое этих значений будет приближенно равно . С большой вероятностью погрешность приближения не превосходит величины . Эта погрешность стремится к нулю с ростом . На практике часто используют не оценку сверху , а на вероятную ошибку, которая приближенно равна Именно такой обычно порядок фактической погрешности расчёта, которая равна

.

Для получения случайных чисел используют обычно три способа: таблицы случайных величин, генераторы случайных чисел и метод псевдослучайных чисел.

Таблицы случайных чисел используют предпочтительно при расчётах вручную. Определяющую роль в этом играют два факта: 1) при использовании ЭВМ легче и удобней воспользоваться генератором случайных чисел, получаемых тут же, чем загружать из памяти значения таблицы, которая к тому же, будет занимать там место. 2) При подсчёте вручную нет необходимости использовать ЭВМ, так как часто необходимо выяснить лишь порядок искомой величины.

Генераторы случайных чисел анализируют какой-либо процесс, доступный для них (шумы в электронных лампах, скачки напряжения) и составляют последовательность из 0 и 1, из которых составляются числа с определёнными разрядами, однако такой метод получения случайных величин имеет свои недостатки. Во-первых, трудно проверить вырабатываемые числа. Проверки приходится делать периодически, так как из-за каких-либо неисправностей может возникнуть так называемый дрейф распределения (нули и единицы в каком-либо из разрядов станут появляться не одинаково часто). Во-вторых, обычно все расчёты на ЭВМ проводятся несколько раз, чтобы исключить возможность сбоя. Но воспроизвести те же самые случайные числа невозможно, если их только не запоминать по ходу счёта. А если запоминать, то снова появляется случай таблиц.

 Скачать реферат