Элементы линейной алгебры

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Тогда

Умножим обратную матрицу на матрицу – столбец и получим искомую матрицу Х.

Проверка: верно.

Пример 24. Найти общее и какое-нибудь частное решение системы линейных уравнений

Решение. Найдем ранг расширенной матрицы:

.

– помножим первую строку на (– 1) и сложим поочередно со второй и с третьей строками, получим строки с тремя нулевыми элементами, результат запишем вместо второй и третьей строки соответственно.

– разделим вторую строку на (– 2) и сложим с нулевой строкой, которую мы не пишем, результат запишем вместо второй строки.

– помножим вторую строку в полученной матрице на (– 2) и сложим с третьей строкой, получим строку с нулевыми элементами, которую можно вычеркнуть.

– найдем базисный минор, не равный нулю, второго порядка, т. е. . Значит, ранги расширенной и нерасширенной матриц равны 2.

Так как ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны между собой, но меньше числа неизвестных, то система будет иметь бесчисленное множество решений.

Возьмем два первых уравнения

Пусть z и t – главные переменные. Тогда

По формулам Крамера найдем значения главного и дополнительных определителей:

Тогда –

– общее решение системы.

Частное решение: придадим любые значения свободным переменным х и у, например, х = 1, у = 1, тогда z = 1, t = 1.

Ответ: x = y = z = t = 1.

Примеры для самостоятельного решения.

1. Вычислить определители второго порядка.

2. Решить уравнения:

3. Вычислить определители третьего порядка:

4. Вычислить определители, разложив их по элементам какой – либо строки или столбца:

5. Вычислить определители по правилу Саррюса или по правилу треугольников:

6. Вычислить определители, использовав теорему о линейной комбинации строк (столбцов):

7. Решить уравнение и неравенство:

8. Вычислить определители (используя свойства определителей) разложением по строке или столбцу:

9. Найти линейные комбинации матриц.

а) Если , то А – 3∙Е =. Ответ: .

б) Если и , то 2∙В – 5∙А =.

Ответ: .

в) Если и , то 4∙А – 5∙В =.

Ответ: .

 Скачать реферат