Неопределенный интеграл
(3) (корни знаменателя комплексные, т.е. ).
(4) (k-целое положительное число ;корни знаменателя комплексные), называются простейшими дробями
(1),(2),(3) и (4) типов.
Интегрирование простейших дробей типа (1),(2) и (3) не составляет большой трудности, поэтому мы приведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений:
(1)
(2)
(3)
=
Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей (4) типа. Пусть нам дан интеграл такого типа:
(4)
Произведем преобразования:
Первый интеграл берется подстановкой :
Второй интеграл- обозначим его через Ik-запишем в виде
,
полагая
(по предположению корни знаменателя комплексные, а следовательно, ). Далее поступаем следующим образом:
.
Преобразуем интеграл:
Интегрируя по частям ,будем иметь
.
Подставляя это выражение в равенство (1), получим
=
=.
В правой части содержится интеграл того же типа, что , но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ;таким образом, мы выразили через Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:
Подставляя затем всюду вместо t и m их значения, получим выражение интеграла (4) через х и заданные числа А, B, p,q.
7) Интегрирование рациональных дробей
Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена M(x) и правильной рациональной дроби . Последнюю же представляем по формуле в виде суммы простейших дробей. Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.
Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x). Здесь возможны следующие случаи.
1.Случай.
Корни знаменателя действительны и различны, т. е.
F(x)=(x-a)(x-b)…(x-d).
В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1типа:
и тогда
2. Случай.
Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:
В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1и 2 типов.
Пример 1.
3. Случай.
Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся(т.е. различные):
В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1,2 и 3 типов.
Пример 2.Требуется вычислить интеграл
.Разложим подынтегральную дробь на простейшие:
Следовательно,
.
Полагая х=1, получим 1=2С, С= Ѕ; полагая х=0, получим 0= -B+C, B=1/2.
Приравнивая коэффициенты при , получим 0=А+С, откуда А= - Ѕ. Таким образом ,
4. Случай.
Среди корней знаменателя есть комплексные кратные:
В этом случае разложение дроби будет содержать и простейшие дроби 4 типа.
Пример 3. Требуется вычислить интеграл
.
Решение. Разлагаем дробь на простейшие:
откуда
Комбинируя указанные выше методы определения коэффициентов, находим А=1, В= - 1, С=0, D=0, Е=1.
Таким образом, получаем
Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:
1) через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;
2) через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа
3) через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа
4) через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа.
5) Интегралы от иррациональных функций
Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Сейчас мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются.
1.Рассмотрим интеграл , где R-рациональная функция своих аргументов [1]).
Пусть R-общий знаменатель дробей m/n,…r/s.Сделаем подстановку .Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.
Другие рефераты на тему «Математика»:
- Понятие эвристики в математике
- История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду
- Моделирование геометрического паркета из пятиугольников и шестиугольников
- Метод конечных разностей или метод сеток
- Геометрические построения на плоскости
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах