Базисные сплайны

Алгоритмы построения кубических сплайнов являются весьма простыми и эффективно реализуются на ЭВМ, причем влияние ошибок округления при вычислениях оказывается незначительным.

Целью данной работы является изучение сплайнов, в частности базисных сплайнов. Также мы составим программу для работы со сплайнами.

§1. Определение сплайнов. Пространство сплайнов

Пусть на отрезке [a, b] зада

но разбиение Для целого через обозначим множество раз непрерывно дифференцируемых на функций, а через— множество кусочно-непрерывных функций с точками разрыва первого рода.

Определение. Функцияназывается сплайном степени дефекта (— целое число, ) с узлами на сетке , если

а) на каждом отрезке функция является многочленом степени , т. е.

(1)

б) .

Определение сплайна имеет смысл на всей вещественной оси ,если положить

При этом на полуоси берется только формула (2), а на полуоси только формула (1).

Итак, сплайн имеет непрерывные производные до порядка . Производные сплайна порядка выше , вообще говоря, терпят разрывы в точках . Для определенности будем считать, что функция , непрерывна справа, т. е.

Множество сплайнов, удовлетворяющих определению, обозначим через Ясно, что этому множеству принадлежат и сплайны степени n дефекта и сплайны степени дефекта , если , в том числе многочлены степени не выше . Так как обычные операции сложения элементов из и их умножения на действительные числа не выводят за пределы множества, то оно является линейным множеством или линейным пространством.

Простейшим примером сплайна является единичная функция Хевисайда

с которой естественным образом связана усеченная степенная функция

Функции являются сплайнами соответственно нулевой степени и степени дефекта 1 с единственным узлом в нулевой точке (рис. 1.1). Мы будем рассматривать также усеченные степенные функции , связанные с точками сетки . При они принадлежат множеству

Теорема 1.1. Функции

(3)

линейно независимы и образуют базис в пространстве размерности

Доказательство: Предположим противное, т. е. что существуют постоянные , не все равные нулю и такие, что

Тогда для имеем и в силу линейной независимости функций находим Беря получаем и, по той же причине, Продолжая этот процесс, убеждаемся, что все Следовательно, функции (3) линейно независимы.

Пусть теперь задан сплайн на отрезке он является многочленом степени , и может быть записан в виде (1) или (2). При этом, так как первые производных сплайна непрерывны в точках т. е.

Покажем, что сплайн , на отрезке может быть представлен в виде

 Скачать реферат