Теоретические и методические аспекты изучения темы "Интегральное исчисление функции нескольких переменных"

По формуле вычисления тройного интеграла (случай 3) имеем

.

№2. (Студент с помощью преподавателя) Вычислить

,

где - пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями , , [17].

Решение:

Для построения пирамиды найдем проекции на плоскости , , . На плоскость :,

На плоскость :,

На плоскость :,

Область проектируется на в треугольник , ограниченный прямыми , , .

По формуле вычисления тройного интеграла (случай 3) имеем

.

№3. (Студент самостоятельно) Вычислить тройной интеграл

,

где - пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями, , [17].

Решение:

Найдем проекцию области на плоскость , то есть :, .

На плоскость :, .

На плоскость :, .

Проекцией тела на плоскость служит треугольник , образованный прямыми , и .

Границами изменения служат числа 0 и 1, а при постоянном переменная изменяется от 0 до .

Если же фиксированы и , и , то пределами изменения будут 0 и . По формуле

получаем

[17].

Первичное закрепление материала проводится при решении студентами у доски упражнений, подобных рассмотренным. Остальные решают на месте, сверяя свое решение с решением у доски.

№4.(Преподаватель у доски) Вычислить тройной интеграл , если - шар [21].

Решение:

Перейдем к сферическим координатам , , , . В области координаты , , изменяются так: , ,