Разработка темы "Производная в школьном курсе математики"

Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции на отрезке есть

,

а наименьшее значение есть

График рассматриваемой функции изображен на рис. 8.

Рис. 8.

Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Сначала найдем критические точки. Так как производная определена для любого , остается решить уравнение . Его корни и .

Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел , и . Ясно, что наименьшее значение достигается в точке 2 и равно -1, а наибольшее – в точке -2 и равно 4,5, т.е.

Задания для самостоятельной работы: найти наибольшее и наименьшее значение функций на указанных отрезках: а) на ; б) на ; в) на ; г) на ;

Урок 10.

Тема: Текстовые задачи на экстремум, решаемые с помощью производной.

Цели:

-образовательная: рассмотреть некоторые типы задач, которые решаются с помощью производной;

-развивающая: расширить кругозор учащихся;

-воспитательная: поддержание интереса к урокам математики.

Тип занятия: изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

С помощью теории максимума и минимума решаются многие задачи механики, динамики и т.д. Рассмотрим конкретный пример решения одной из таких задач.

Задача 1. Дальность (рис. 14) полета ядра (в пустоте), выпущенного с начальной скоростью из орудия, наклоненному под углом к горизонту, определяется формулой

.

(- ускорение силы тяжести). Определить угол , при котором дальность будет наибольшей при начальной скорости .

Решение.

Рис. 9

Величина представляет собой функцию переменного угла . Исследуем эту функцию на максимум на отрезке .

критическое значение ;

,

.

Следовательно, при дальность полета имеет максимум

.

Значения функции на концах отрезка равны:

.

Таким образом, найденный максимум и есть искомое наибольшее значение дальности полета .

До сих пор мы находили наименьшие и наибольшие значения на отрезках, однако встречаются задачи, в которых требуется находить экстремальные значения на бесконечных интервалах, либо просто на интервалах. Рассмотрим различные случаи.

. В этом случае поступать следует, так как это описано выше, т.е.