Разработка темы "Производная в школьном курсе математики"

Достаточный признак убывания функции : Если в каждой точке интервала , то функция убывает на .

Доказательство этих признаков проводит

ся на основании формулы Лагранжа. Возьмем два любых числа и из интервала. Пусть . По формуле Лагранжа существует число , такое, что

.

Число принадлежит интервалу , т. к. все и принадлежат . Если для , то , и поэтому , т. к. . Этим доказано возрастание функции на . Если же для , то ,

и поэтому , т. к. . Доказано убывание функции на .

Задача 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Данная функция определена на множестве всех действительных чисел. Из равенства следует, что , если . Решая это неравенство методом интервалов, получим, что на интервале , и, значит, на этом интервале возрастает.

Аналогично на интервалах и , поэтому на этих интервалах убывает.

Задача 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Имеем

Точки 0 и 1 разбивают область определения на три интервала:

При функция возрастает;

При функция убывает;

При функция возрастает.

Задача 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Функция определена на всей числовой прямой и ее производная:

Поскольку , легко получаем, что для всех действительных .

Задача 4. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Производная функции равна:

Находим корни производной:

При имеем , т.е. на функция возрастает.

При имеем , т.е. на функция убывает.

При имеем , т.е. на функция возрастает.

Задания для самостоятельной работы: найти промежутки возрастания и убывания указанных функций: а) ; б) ; в) ; г) .

Урок 7.

Тема: Критические точки функции, минимумы и максимумы.

Цели:

-образовательная: рассмотреть метод нахождения максимальных и минимальных значений функций;

-развивающая: расширить кругозор учащихся;

-воспитательная: формирование математической грамотности.

Тип занятия: изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Рассмотрим вначале понятия максимума и минимума функции.

Определение. Функция в точке имеет максимум, если значение функции в точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала содержащего точку . Иначе говоря, функция имеет максимум при , если при любых , достаточно малых по абсолютной величине.