Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

≥ 0 ), что .Подстановка в исходное неравенство показывает, что полученная пара , ему удовлетворяет.

2 способ. Переписав неравен

ство в виде ≥, замечаем, что ≥ 1.

Теперь докажем, что ≤ 1.

Из второго уравнения находим , тогда первое уравнение принимает вид: , откуда находим . Ответ: (1;0)

Пример 4. Решить неравенство >

Решение. Область определения состоит из , удовлетворяющих условиям: > -2,

≠,≠ 0.Следовательно, область определения: -2 <<, << 0, 0<<∞. Рассмотрим неравенство на каждом промежутке отдельно.

–2< < . Тогда, учитывая, что < 0 на этом интервале, получаем, что исходное неравенство равносильно > (1)

Легко видеть, что на этом интервале справедливы неравенства < 1; > 2. Следовательно, неравенство (1), а также исходное неравенство не имеет решений на этом интервале.

2. < < 0. Следовательно, > >0. Отсюда правая часть исходного неравенства меньше 0. В то же время для любого из этого промежутка > 0.

Следовательно, для всех из этого интервала исходное неравенство справедливо.

3. > 0. Следовательно, < (2)

Очевидно, что на этом множестве справедливы неравенства < 2, 1<

Следовательно:

а) (2) не имеет решения на том множестве, где ≥ 2, т.е. при ≥ 2;

б) (2) не имеет решения там, где ≤ 1. Учитывая, что > 0, получаем, что (2) не

имеет решения на 0 <≤ 1.

в) Найдем решение (2) при 1<< 2. На этом интервале

< .

Покажем, что справедливо неравенство > (3)

Действительно, т.к.>, то . Следовательно, справедливо неравенство (3). Итак, на 1<< 2 имеем >> >. Следовательно, неравенство (3) не имеет решения на 1<< 2. Вывод: множество решений исходного неравенства есть интервал< < 0.

Пример 5. При каких значениях параметра система:

0≤

имеет единственное решение?

Решение

Легко оценить правую и левую части первого неравенства системы. Квадратичная функция от , расположенная в левой части неравенства, достигает своего наименьшего значения при x= -p (, ′== 0 -критическая точка, при переходе через которую производная функции меняет знак с “-“ на “+”). При этом правая часть неравенства не превосходит , что можно проверить методом введения дополнительного аргумента.